Ebene aus zwei Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo und guten Morgen,
ich wollte wissen ob ich folgende Rechnung richtig gemacht habe:
Es sind zwei Geraden angegeben:
g: [mm] \vec{X}=\vektor{0 \\2\\ -3}+s*\vektor{-1 \\0\\ -3}
[/mm]
h: [mm] \vec{X}=\vektor{-11 \\-4\\ -3}+t*\vektor{3 \\2\\ -2}
[/mm]
Ich habe dan zunächst einmal auf die Richtungsvektoren geschaut:
[mm] \vektor{-1 \\0\\ -3}=r*\vektor{3 \\2\\ -2}
[/mm]
<=> -1=3r
0=2r
-3=-2r
somit sind die Richtungsvektoren kein vielfaches voneinander und sind damit auch nicht parallel.Wie geprüft wird ob die Windschief oder identisch sind habe ich leider nicht mehr in Erinnerung.
Als nächstes setze ich beide Gleichungen gleich um den Stützvektor herauszubekommen:
[mm] s*\vektor{-1 \\0\\ -3}-t*\vektor{3 \\2\\ -2}=\vektor{-11 \\-4\\ -3}-\vektor{0 \\2\\ -3}
[/mm]
aus der II:
-2t=-6
<=> t=3
in die I:
-1s-3*3=-11
<=> -1s- 9=-11
<=> s = 2
Prüfung mit der III.:
-3s+2*3=0
<=> -3s =-6
<=> s = 2
Ergebnis von der II. in die Geradengleichung
[mm] \vektor{-11 \\-4\\ -3}+3*\vektor{3 \\2\\ -2}=\vektor{-2 \\-2\\ -9}
[/mm]
Dann lautet die Ebenengleichung:
[mm] \vec{X}=\vektor{-2 \\-2\\ -9}+s*\vektor{-1 \\0\\ -3}+t*\vektor{3 \\2\\ -2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fatih!
Du hast fast alles richtig gemacht. Lediglich bei der Emittlung des Schnittpunktes ist Dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen:
[mm] $$\vektor{-11 \\-4\\ -3}+3*\vektor{3 \\2\\ -2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{-11 \\-4\\ -3}+\vektor{9 \\6\\ -6} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{-2 \\ \ \red{+} \ 2\\ -9}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Fatih17 |
jo stimmt hast recht, danke
ich hätte da jetzt nur noch eine letzte Frage:
Wie beweist man dass die Richtungsvektoren identisch oder windschief sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fatih!
Nicht die Richtungsvektoren sind windschief sondern eventuell die Geraden.
"windschief" sind zwei Geraden, deren Richtungsvektoren nicht linear abhängig sind und kein Schnittpunkt der beiden Geraden existiert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Fatih17 |
Also das heißt wenn ich die beiden Gleichungen gleichsetze und bei der Prüfung nicht ein eindeutiges Ergebnis herauskommt sind die Windschief?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fatih!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Fatih17 |
Alles klar super
und wie sind die beiden Geraden identisch? Wenn sie den selben Stützvektor und linear abhängige Richtungsvektoren haben?
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> Alles klar super
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> und wie sind die beiden Geraden identisch? Wenn sie den
> selben Stützvektor und linear abhängige Richtungsvektoren
> haben?
Es gibt leider genug Beispiele, wo du dann mit deiner Methode herausbekommen würdest dass die Geraden nur parallel sind, obwohl sie identisch sind. Eines ist zum Beispiel:
[mm] $g_{1} [/mm] = [mm] \vektor{2\\1\\-1} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{1\\2\\3}$ [/mm] und [mm] $g_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0\\-3\\-7} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{-2\\-4\\-6}$
[/mm]
Die sind identisch. Wie weist man das nach?
1. Die Richtungsvektoren müssen linear abhängig sein (ist hier ja der Fall)
2. Wähle einen beliebigen Punkt auf der einen Geraden (natürlich nimmst du den Stützvektor). Wenn der Punkt auf der anderen Geraden liegt (Punktprobe!) sind sie identisch.
Warum klappt das?: Wenn zwei geraden durch erfülltes 1. schon parallel sind und dann noch nachgewiesenermaßen mindestens einen Punkt gemeinsam haben, müssen sie aufeinanderliegen.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Fatih17 |
Ahh ich danke dir ich denke ich habe es Verstanden:
ich glaube ich muss den Stützvektor der einen Gleichung nehmen und die in die andere einsetzen :
[mm] \vektor{0 \\-3\\ -7}=\vektor{2 \\1\\ -1}+r*\vektor{1 \\2\\ 3}
[/mm]
dann kommt raus:
r=-2
r=-2
r=-2
und das beweist dass die beiden Geraden identisch sind?
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> Ahh ich danke dir ich denke ich habe es Verstanden:
>
> ich glaube ich muss den Stützvektor der einen Gleichung
> nehmen und die in die andere einsetzen :
>
> [mm]\vektor{0 \\-3\\ -7}=\vektor{2 \\1\\ -1}+r*\vektor{1 \\2\\ 3}[/mm]
>
> dann kommt raus:
>
> r=-2
> r=-2
> r=-2
>
> und das beweist dass die beiden Geraden identisch sind?
Hallo!
Genau! Weil du ja gezeigt hast, dass es ein Punkt der einen Geraden auf der anderen liegt (weil r = -2). Und weil sie parallel sind, können sie dann nur noch identisch sein!
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Fatih17 |
alles klar vielen dank hat mir sehr viel geholfen!
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