Ebene durch Punkte in R³ < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 So 14.12.2008 | | Autor: | Ajnos |
| Aufgabe 1 | Betrachten Sie im [mm] \IR³ [/mm] die Punkte [mm] A_{x} [/mm] (-x;-8;1), [mm] B_{x} [/mm] (4;-4;2x) und C (0;-8;4). Die Ebene, die durch diese drei Punkte bestimmt wird, nennen wir [mm] E_{x}.
[/mm]
a; Geben Sie [mm] A_{1} [/mm] und [mm] B_{1} [/mm] an und weisen Sie nach, dass die Vektoren [mm] \overrightarrow{CA}_{1} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CB}_{1} [/mm] linear unabhängig sind. Zeigen Sie dann, dass die Vektoren [mm] \overrightarrow{CA}_{x} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CB}_{x} [/mm] sogar für jedes beliebige x [mm] \in \IR [/mm] linear unabhängig sind. |
| Aufgabe 2 | | b; Betrachten Sie die oben definierten Punkte jetzt als Vektoren. Untersuchen Sie, für welche x [mm] \in \IR [/mm] die drei Vektoren [mm] A_{x}, B_{x} [/mm] und C linear abhängig sind. |
| Aufgabe 3 | | c; Bestimmen Sie die Gleichung der Ebenen [mm] E_{x} [/mm] für x=3 und x=-2. Die beiden Ebenen [mm] E_{3} [/mm] und [mm] E_{-2} [/mm] schneiden sich in der Geraden g. Berechnen Sie die Gleichung der Schnittgeraden g. |
| Aufgabe 4 | | d; für jedes u [mm] \in \IR [/mm] ist ein Punkt [mm] D_{u} [/mm] (4;-2u;u-6) gegeben. Zeigen Sie, dass alle Punkte [mm] D_{u} [/mm] auf einer Geraden h liegen und geben Sie die Gleichung dieser Geraden h an. Welche Beziehung hat h zu [mm] E_{-2}? [/mm] |
Zu a; hab ich folgendes Versucht:
für x=1 eingesetzt:
[mm] A_{1} [/mm] = (-1:-8;1)
[mm] B_{1} [/mm] = (4:-4;2)
[mm] CA_{1} [/mm] = [mm] OA_{1} [/mm] - OC = (-1|0|-3)
[mm] CB_{1}= OB_{1}- [/mm] OC = (4|4|-2)
[mm] CA_{1}= [/mm] k * [mm] CB_{1} [/mm] ; k [mm] \in \IR
[/mm]
1 = 4k --> k = -0,25
0 = 4k --> k = 0
3 = -2k --> k = -1,5
[mm] \Rightarrow CA_{1} [/mm] u. [mm] CB_{1} [/mm] linear unabhängig.
Ist das soweit richtig??
zur b; hab ich mich auch schon abgemüht und statt der 1 ein x eingesetzt und kam somit auf:
[mm] x_{1}=3
[/mm]
[mm] x_{2}=2 [/mm]
zu c)
[mm] E_{3}: [/mm] x=(-3/-8/1)+a(7/4/5)+b(-3/0/3)=0
[mm] E_{-2}:=(2/-8/1)+a(2/4/-5)+b(-2/0/3)=0 [/mm]
stimmt das alles soweit?
Das war jetzt meine Arbeit seit gestern nachmittag... langsam frustriere ich, ich kann mit dieser analytischen Geometrie so gar nix anfangen... und hab immer noch was vor mir ... Kann mir bitte jemand helfen, damit ich weiter und voran komme???
Vielen Dank und einen schönen Advent,
Ajnos
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 So 14.12.2008 | | Autor: | Astor |
Also die Antwort zur Aufgabe 1a) ist für x=1 korrekt.
Du musst noch zeigen, dass die Vektoren auch für jedes beliebeige x linear unabhängig sind.
Was bedeutet linear unabhängig?
Bei zwei Vektoren kann man das sehr gut veranschaulichen.
Wenn man Vektoren als Pfeile veranschaulicht, dann sind zwei Vektoren l. u. , wenn ihre Pfeile nicht auf einer Linie angeordnet sind. Der eine Vektor ist kein Vielfaches des anderen.
Schreib dir die Vektoren hin, falls x beliebig ist. Beim Vektor CAx steht an der zweiten Komponente eine Null. Beim Vektor CBx steht an der zweiten Komponente eine 4. Allein daraus erkennt man, dass die beiden Vektoren l.u. sind. Denn ein Vilefaches von 0 ist immer 0 und niemals 4.
Bei Aufgabe 2b) hast Du nun drei Vektoren. Du musst untersuchen, für welche x der Nullvektor nicht trivial darstellbar ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 So 14.12.2008 | | Autor: | Astor |
Bei der Ebenengleicgung E3 ist wohl der zweite Richtungsvektor falsch. An der 1. Komponente muss ein +3 stehen. Ansonsten sehe ich keinen Rechenfehler.
Zum Bestimmen der Schnittgeraden wandelt man am schnellsten eine Ebene in eine Normalenform um und setzt die Gleichung der anderen Ebene in die Normalenform ein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 So 14.12.2008 | | Autor: | Astor |
Du ist eine Punktmenge. Wähle einfach für u = 0. Do(4/0/-6)
Dann für u=1. D1(4/-2/-5). Durch diese beiden Punkte ist eine Gerade gegeben. g:[mm][mm] \vec{x}=\vektor{4\\0\\-6}+\lambda*\vektor{0\\-2\\1}
[/mm]
Bringt man die Ebene E-2 auf Normalenform, so findet man schnell, dass die Gerade g in der Ebene E-2 liegt.
Gruß Astor
|
|
|
|
