Ebene x, y, z < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Fr 29.02.2008 | | Autor: | schlampe |
Liebe Mathefreunde,
wie kann man sich denn eine Ebene vorstellen, die
x + y + z = 2
aussieht?
Und wieso kann es eine Ebene sein ich kann doch für jede Unbekannte immer einen anderen Wert einsetzen um insgesamt doch auf 2 zu kommen. Kapier ich nicht.
Wäre dankbar für eure Hilfe.
Liebe Grüße, eure schlampe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo schlampe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Liebe Mathefreunde,
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> wie kann man sich denn eine Ebene vorstellen, die
>
> x + y + z = 2
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> aussieht?
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> Und wieso kann es eine Ebene sein ich kann doch für jede
> Unbekannte immer einen anderen Wert einsetzen um insgesamt
> doch auf 2 zu kommen. Kapier ich nicht.
Erstens hast Du hier eine Gleichung in 3 Variablen. Das ist zunächst ein unterbestimmtes Gleichungssystem. In diesem Falle heißt das, daß 2 Variablen (Parameter) frei wählbar sind. Demnach gibt es zwei Spannvektoren. Dies ist gerade für eine Ebene notwendig.
Wähle hier z.B. die Punkte auf den 3 Punkte auf der Ebene und Du erhältst dann die Parameterform der Ebene. Natürlich müssen hier die Spannvektoren bzw. ein Punkt auf der Ebene bestimmt werden.
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> Wäre dankbar für eure Hilfe.
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> Liebe Grüße, eure schlampe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Fr 29.02.2008 | | Autor: | schlampe |
Hallo lieber MathePower, vielen lieben Dank!
> Wähle hier z.B. die Punkte auf den 3 Punkte auf der Ebene
> und Du erhältst dann die
> Parameterform der Ebene.
> Natürlich müssen hier die Spannvektoren bzw. ein Punkt auf
> der Ebene bestimmt werden.
Sorry für die Nachfrage, aber was meinst Du mit "Wähle hier z.B. die Punkte auf den 3 Punkte auf der Ebene".
Kapier ich nicht. Da hat mir der Artikel Parameterform nicht so viel weitergeholfen.
Liebe Grüße, eure schlampe
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Hallo,
Deine Ursprungsfrage war ja:
>>> wie kann man sich denn eine Ebene vorstellen, die x + y + z = 2 aussieht.
Diese Frage zu beantworten wäre etwas einfacher, wenn man wüßte, welche Formen der Ebenengleichung Du sonst noch kennst.
Unter welchen Ebenengleichungen kannst Du Dir etwas vorstellen?
>>> wie kann man sich denn eine Ebene vorstellen, die x + y + z = 2 aussieht
Die Gleichung x + y + z = 2 teilt Dir mit, welche Punkte (x / y / z) in der Ebene liegen. Eben die, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen.
Dazu, wie Du zur Parameterform kommst, hat Dir ja MathePower einen Hinweis gegeben.
Falls Du die Normalenform der Ebenengleichung kennst oder gar die Hessesche Normalform:
Du kannst an der obigen Koordinatengleichung sofort den Normalenvektor der Ebene ablesen:
Der Normalenvektor von 1*x +1*y + 1*z = 2 ist [mm] \vektor{1\\ 1\\1}.
[/mm]
Wenn Du Dir nun noch einen Punkt der Ebene eroberst, weißt Du recht genau, um welche Ebene es geht.
Oder suchst Du die Achsenabschnittsform der Ebenengleichung?
1*x +1*y + 1*z = 2 <==> [mm] \bruch{1}{2}*x +\bruch{1}{2}*y [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*z [/mm] = 1,
und hieran kannst Du sofort ablesen, wo die Koordinatenachsen geschnitten werden.
Ich hoffe, daß Du nun beim Buffet der Ebenengleichungen etwas findest, was Dir mundet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Fr 29.02.2008 | | Autor: | schlampe |
Liebe Angela, danke Dir erst Mal - soviel Hunger hatte ich gar nicht 
> Die Gleichung x + y + z = 2 teilt Dir mit, welche Punkte (x
> / y / z) in der Ebene liegen. Eben die, deren Koordinaten
> die Gleichung erfüllen.
Das ist klar.
> Oder suchst Du die Achsenabschnittsform der
> Ebenengleichung?
JA !!!! GENAU!
>
> 1*x +1*y + 1*z = 2 <==> [mm]\bruch{1}{2}*x +\bruch{1}{2}*y[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}*z[/mm] = 1,
>
> und hieran kannst Du sofort ablesen, wo die
> Koordinatenachsen geschnitten werden.
Und da fällt es mir schon wieder schwer. Wie kannst Du daraus sofort ablesen, wo die Achsen geschnitten werden?
Die Gleichung [mm]\bruch{1}{2}*x +\bruch{1}{2}*y + \bruch{1}{2}*z[/mm] = 1 geht doch z.B. dann auf, wenn ich für [mm] x=y=z=\bruch{2}{3} [/mm] einsetze. Dann kommt 1 heraus.
Aber wie kannst Du da direkt ablesen, wo die Koordinatenachsen geschnitten werden?
Liebe Grüße von der schlampe
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Hallo schlampe!
> > Die Gleichung x + y + z = 2 teilt Dir mit, welche Punkte (x
> > / y / z) in der Ebene liegen. Eben die, deren Koordinaten
> > die Gleichung erfüllen.
>
> Das ist klar.
>
>
> > Oder suchst Du die Achsenabschnittsform der
> > Ebenengleichung?
>
> JA !!!! GENAU!
>
> >
> > 1*x +1*y + 1*z = 2 <==> [mm]\bruch{1}{2}*x +\bruch{1}{2}*y[/mm] +
> > [mm]\bruch{1}{2}*z[/mm] = 1,
> >
> > und hieran kannst Du sofort ablesen, wo die
> > Koordinatenachsen geschnitten werden.
>
> Und da fällt es mir schon wieder schwer. Wie kannst Du
> daraus sofort ablesen, wo die Achsen geschnitten werden?
Mmh, also das Wort "Achsenabschnittform" kenne ich gar nicht, und wie Angela das hier direkt ablesen möchte, weiß ich auch nicht, ich finde es anders einfacher (aber wahrscheinlich kommt es aufs Gleiche raus  ):
Betrachten wir also x+y+z=2. Damit diese Ebene die x-Achse schneidet, müssen ja die y- und die z-Koordinate =0 sein, setzen wir also y=z=0 in die Ebenengleichung ein, bleibt dort x=2 stehen, womit wir direkt den Schnittpunkt mit der x-Achse haben, nämlich [mm] \vektor{2\\0\\0}. [/mm] Genauso geht es mit den beiden anderen Schnittpunkten, das schaffst du sicher alleine, oder? Und die die Gleichung in gewisser Weise "symmetrisch" ist, sehen die Punkte auch alle sehr ähnlich aus.
Hilft dir das dann auch zur "Vorstellung"?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Fr 29.02.2008 | | Autor: | crashby |
Hey Schlampe omg wat fürn nick ;)
Wir haben also diese Ebene in Koordinatenform gegeben:
$ x+y+z=2 $
mal dir einfach mal ein Koordinatensystem mit 3 Achsen da du ja im [mm] R^3 [/mm] bist.
eine Ebene in dieser Form kann man man ganz schnell sich 3 Punkte zusammen suchen um die Ebene ins Koordinatensystem einzutragen.
Man berechnet einfach die Schnittpunkte mit den Achsen, wie Bastiane schon angemerkt hat.
x-Achse: d.h wir setzen y=z=0 und erhalten diesen Schnittpunkt:
$ [mm] S_x [/mm] (2 | 0 | 0) $ Analog geht das mit den anderen Achsen.
y-Achse: $ [mm] S_y(0|2|0) [/mm] $
z-Achse: $ [mm] S_z(0|0|2) [/mm] $
Nun hast du 3 Punkte und kannst somit einfach die Punkte ins KS eintragen und hast deine Ebene.
lg George
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Achsenabschnittform der Ebene ist die Ebenengleichung der Form E: [mm] \bruch{x}{a}+\bruch{y}{b}+\bruch{z}{c}=1.
[/mm]
a ist die x-Koordinate des Schnittpunktes mit der x-Achse u.s.w.
Das gleiche gibts auch für Gerade im [mm] \IR². [/mm] g: [mm] \bruch{x}{a}+\bruch{y}{b}=1.
[/mm]
Brauchen tut man diese Formen nicht so oft, aber naja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Fr 29.02.2008 | | Autor: | schlampe |
Liebe Bastiane, crashby und Teufel!
Also zuerst: Mein Nickname lässt nur Rückschlüsse auf meine Ordnung zu, dass da keine Missverständnisse aufkommen... Mit der ordnung hab' ichs nämlich nicht so...
Vielen lieben Dank für eure posts, ich glaube, ich habs jetzt kapiert.
Hab' mal ne Zeichnung angefertigt, sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ist das eine dreieckige Ebene?
Liebe Grüße, schlampe
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Wollt schon sagen ;)
Naja, unordentlich bin ich auch. Nur ein schwacher Geist braucht Ordnung, das Genie beherrscht das Chaos.
Aber zum Thema: Im Normalfall sind Ebenen unendlich groß, sie gehen also in die Unendlichkeit. Man kann Flächen aus ihn machen, wenn man z.B. Parameter einschränkt. Oder in deinem Fall könnte man dein gezeichnetes Dreieck machen, indem man zusätzlich zu E: x+y+z=2 noch "mit 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2, 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 2, 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2" oder "x, y, z [mm] \in [/mm] [0;2]" schreibt. Denn wie du siehst nimmt dieser dreieckige Ausschnit der Ebene nie irgendwo in einer Koordinate den Wert 3 an.
Also was du dir merken musst: Das was du zeichnest ist immer nur ein Ausschnitt (meistens dreieckig) einer sich ins Unendliche erstreckende Ebene.
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> Hab' mal ne Zeichnung angefertigt, sieht so aus:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ist das eine dreieckige Ebene?
Hallo,
Teufel hat Dir ja schon gesagt, daß das nur ein Ausschnitt der Ebene ist.
Mit der Achsenabschnittsform kennst Du die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen, wenn Du Dir auf das entstehende Dreieck ein unendlich großes Blatt papier gelegt denkst, kennst Du die Ebene.
Gruß v. Angela
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Hallo schlampe!
> Hab' mal ne Zeichnung angefertigt, sieht so aus:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Die Zeichnung ist nicht ganz korrekt, denn um das Ganze auch "perspektivisch" zu zeichnen, sind die Einheiten auf der z-Achse immer nur "halb so groß". Wenn du auf Kästchenpapier zeichnest und auf der x- und der y-Achse als eine Einheit einen ganzen Zentimeter, also zwei Kästchen, nimmst, musst du auf der z-Achse für eine Einheit nur einen halben Zentimeter, also nur ein Kästchen nehmen.
Wenn du mir das nicht glaubst, schau mal in dein Mathebuch, da ist das bestimmt irgendwo zu sehen.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Fr 29.02.2008 | | Autor: | schlampe |
Hallo ihr Lieben, vielen lieben Dank für eure geduldigen Erklärungen, ich denke, jetzt hab ichs verstanden. Bin jedenfalls sehr ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") über die vielen netten Leute hier im Forum.
Viele liebe Grüße, schlampe
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
