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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Fr 28.01.2005 | | Autor: | T3K |
Hi,
Ich habe das Glück meine Mahteklausur in einem anderen Fachbereich schreiben zu müssen, da der Prof bei dem ich die Vorlesung gehört habe in Rente gegangen ist und in unserem Fachbereich im Moment keine Mahteklausur gestellt wird. In den Klausuren des anderen Fachbereiches gibt es einen Aufgabentyp mit dem ich nix anfangen kann. ich habe hier mal zwei Aufgaben des Typs ... vielleicht kann mir einer von euch weiter helfen.
Aufgabe 1:
Bestimmen sie die Gleichung der Ebene gemäß,
[mm] \cos(x^{2}+y^{2}+2*z^{2})+1=0
[/mm]
definerten Fläche in dem Punkt [mm] P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) [/mm] mit den Koordinaten [mm] x_{0}= \wurzel{PI}/2 [/mm] und [mm] y_{0}=\wurzel{PI}/2 [/mm] berührt.
mein Lösungsansatz:
ich habe mir als erstes überlegt, das der Ausdruck im cos = PI sein muß damit die Gelichung erfüllt ist und habe dann mit der Klammerausdruck weiter gerechnet um mein [mm] z_{0} [/mm] zubekommen.
[mm] x^{2}+y^{2}+2*z^{2}=PI \Rightarrow z_{0}=\wurzel{PI}/2
[/mm]
dann habe ich bei anderen Klausuren des Aufgabentyps gesehen das es ein "n" und ein [mm] "n_{0}" [/mm] gibt, wobei "n" einfach die partiellen Ableitungen nach x,y und z beinhaltet und bei [mm] n_{0} [/mm] ist einfach [mm] P_{0} [/mm] in "n" eingesetzt worden.
n = (2*x,2*y,4*z)
[mm] n_{0}=( \wurzel{PI}, \wurzel{PI}, 2*\wurzel{PI})
[/mm]
mir ist allerdings nicht klar was ich damit ausgerechte habe und wie es weitergeht, das Thema ist einfach nicht behandelt worden, jedenfalls nicht in unserem Fachbereich.
Aufgabe 2:
Berechnen sie die Tangentialebene an durch die Gleichung
[mm] x^{2}+y{2}-z^{2} [/mm] = 0
beschriebene Fläche im Punkt [mm] P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) [/mm] mit [mm] x_{0}=1 [/mm] und [mm] y_{0}=1. [/mm] Berechnen sie zwei linear unabhängige Vektoren a und b, diein dieser Ebene liegen und prüfen sie Ihr ergebnis.
Bei dieser Aufgabe würde ich genauso vorgehen wie bei der ersten, ich denke das mir da einfach das Verständnis fehlt, denn angesichts der Punkte die es für solche Aufgaben gibt, kann das gar nicht so schwer sein!
Ich hoffe ihr könnt mir noch den entscheidenen Anstoß geben, damit der Groschen fällt! Die Klausur ist nämlich schon Montag ;) Am besten wäre irgend wie eine kleine Zeichnung auf der zu erkennen ist was was ist, nur wenns geht ... ;)
Die Eingabehilfe für Formeln ist echt super dickes LOB!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG
T3K
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Sa 29.01.2005 | | Autor: | moudi |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Nils
Du hast hier sogenannte Niveauflächen. Sie werden durch eine Gleichung der Form
$f(x,y,z)=0$ definiert.
Ist P ein Punkt der Niveaufläche, so steht der Gradient in P senkrecht zur Niveaufläche, und damit auch zur Tangentialebene in P.
Was ist genau der Gradient. Ist $P(x_0,y_0,z_0)$, so besteht der Gradientenvektor in P aus den partiellen Ableitungen von f an der Stelle $(x_0,y_0,z_0)$.
also $\overrightarrow{\mathrm{grad}f}(P)=\left.\vektor{\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial f}{\partial z}}\right|_{(x_0,y_0,z_0)}$.
Dieser Gradientenvektor ist dann der Noramalenvektor der Ebene.
Ich rechne mal die zweite Aufgabe vor.
Ich nehme an, die Fläche hat die Gleichung $x^2+y^2-z^2=0$. Der Gradient ist dann $\vektor{2x \\ 2y\\ -2z}$.
Zu $x_0=1$, $y_0=1$ gibt es zwei mögliche $z_0$, nämlich $z_0=\sqrt2$ und $z_0=-\sqrt2$.
Für $P_1(1,1,\sqrt2)$ ist der Gradient also $\vektor{2 \\ 2 \\ -2\sqrt2}$ Normalenvektor der Tangentialebene. Die Tangentialeben hat dann die Gleichung $T_1: 2x+2y-2\sqrt2 z=d$. Weil der Punkt $P_1(1,1,\sqrt2)$ in der Tangentialebene liegt, erüllen seine Koordinaten diese Ebenengleichung und man erhält $2\cdot1+2\cdot1-2\sqrt2\cdot\sqrt2=d$ oder $d=-4$. Die Gleichung der Tangentialebene im Punkt $P_1$ lautet daher $2x+2z-2\sqrt2 z=-4$ oder nach Division durch 2, $x+y-\sqrt2 z=-2$.
Vektoren, die in der Tangentialebene liegen müssen senkrecht zum Normalenvektor $\vektor{2 \\ 2 \\ -2\sqrt2}$ sein.
z.B. $\vec a=\vektor{1 \\ 0 \\ \frac{\sqrt2}2}$ und $\vec b=\vektor{0 \\ 1 \\ \frac{\sqrt2}2}$.
mfG Moudi
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