Ebenen aufstellen mit Winkel < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Alayna |
Hi alle zusammen!
ich habe einige ähnliche aufgaben vor mir liegen, und komme bei keiner weiter. generell sieht es so aus: ich habe eine ebene gegeben, zu der ich eine weitere ebene im winkel von xGrad finden soll. diese neue ebene hat aber weiterhin zwei punkte/eine gerade gegeben, die in dieser neuen ebene liegen soll.
als beispielaufgabe schreibe ich einfach mal diese hin:
E: x+y-z=5
Punkt A(2/1/0) und Punkt B((1/4/2)
es soll eine ebene F gebildet werden, die die Punkte A und B enthält sowie einen Winkel von 60Grad zu E hat.
mein Ansatz:
der Normalenvektor zu E lautet
[mm] \vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
demnach sollte der
[mm] \cos 60 = (\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} o \\ p \\ q \end{pmatrix} \right|)/ (\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right|*\left|\begin{pmatrix} o \\ p \\ q \end{pmatrix} \right|) [/mm]
mit den zwei punkten kann ich eine gerade bilden. mit der parameterform der Ebene F hätte ich demnach einen punkt, einen richtungsvektor und ein weiterer richtungsvektor fehlt mir.
mit der oberen gleichung dagegen könnte ich höchstens einen normalenvektor finden, der nicht in der ebene liegt.
ich verstehe nun nicht, was ich worein setzen kann oder was ich in eine andere Art der Ebenengleichung umwandeln muss, damit ich zu einem ergebnis für die Ebene komme.
ich freue mich über jeden ansatz..
grüße, Alayna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hi alle zusammen!
> ich habe einige ähnliche aufgaben vor mir liegen, und
> komme bei keiner weiter. generell sieht es so aus: ich habe
> eine ebene gegeben, zu der ich eine weitere ebene im winkel
> von xGrad finden soll. diese neue ebene hat aber weiterhin
> zwei punkte/eine gerade gegeben, die in dieser neuen ebene
> liegen soll.
>
> als beispielaufgabe schreibe ich einfach mal diese hin:
> E: x+y-z=5
> Punkt A(2/1/0) und Punkt B((1/4/2)
> es soll eine ebene F gebildet werden, die die Punkte A und
> B enthält sowie einen Winkel von 60Grad zu E hat.
>
>
> mein Ansatz:
> der Normalenvektor zu E lautet
> [mm]\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> demnach sollte der
> [mm]\cos 60 = (\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} o \\ p \\ q \end{pmatrix} \right|)/ (\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right|*\left|\begin{pmatrix} o \\ p \\ q \end{pmatrix} \right|)[/mm]
>
> mit den zwei punkten kann ich eine gerade bilden. mit der
> parameterform der Ebene F hätte ich demnach einen punkt,
> einen richtungsvektor und ein weiterer richtungsvektor
> fehlt mir.
> mit der oberen gleichung dagegen könnte ich höchstens
> einen normalenvektor finden, der nicht in der ebene liegt.
>
> ich verstehe nun nicht, was ich worein setzen kann oder was
> ich in eine andere Art der Ebenengleichung umwandeln muss,
> damit ich zu einem ergebnis für die Ebene komme.
>
> ich freue mich über jeden ansatz..
> grüße, Alayna
Hallo Alayna,
also versuchen wir es mal. Also du hast den Normalenvektor von $E$ ermittelt
und dieser ist [mm] $n_E= \vektor{1 \\ 1\\-1}$. [/mm] Die Ebenen schneiden sich mit einem
Schnittwinkel von $60°$ und der Cosinus von $60°$ ist $0,5$.
Übernehmen wir deine Gleichung:
$ 0,5= [mm] (\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot{} \begin{pmatrix} o \\ p \\ q \end{pmatrix} \right|)/ (\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right|\cdot{}\left|\begin{pmatrix} o \\ p \\ q \end{pmatrix} \right|) [/mm] $
und das können wir umformen zu:
[mm] $\frac{o+p-q}{\wurzel{o^2+p^2+q^2}}=0,5$
[/mm]
Jetzt wissen wir auch noch, dass unsere Punkte $A$ und $B$ in der Ebene $F$ liegen, daraus folgt, dass die Gerade $g$
durch die Punkte auch Element dieser Ebene $F$ ist.
[mm] $\rightarrow [/mm] g: [mm] \vec x=\vektor{2 \\ 1\\0}+r\vektor{-1 \\ 3\\2}$
[/mm]
Da diese Gerade in der Ebene $F$ liegt, muss das Skalarprodukt vom Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor
[mm] $n_F$ [/mm] der Ebene $0$ ergeben.
[mm] $\rightarrow \vektor{o \\ p\\q} \circ \vektor{-1 \\ 3\\2}=0 [/mm] $
und das können wir auch so schreiben:
$-o+3p+2p=0$
Wir können für unsere Ebene $F$ schon Folgendes sagen:
$F:(x- [mm] \vektor{2 \\ 1\\0}) \circ \vektor{o \\ p\\q}=0$
[/mm]
und wir wissen Punkt $B(1/4/2) [mm] \in [/mm] F$, daraus folgt:
[mm] $\rightarrow F:(\vektor{1 \\ 4\\2}- \vektor{2 \\ 1\\0}) \circ \vektor{o \\ p\\q}=0$
[/mm]
und hieraus folgt diese Gleichung:
$-3o+2p+2q=0$
Jetzt haben wir drei Gleichungen mit 3 Unbekannten:
(1) $ [mm] \frac{o+p-q}{\wurzel{o^2+p^2+q^2}}=0,5 [/mm] $
(2) $ -o+3p+2p=0 $
(3) $ -3o+2p+2q=0 $
Vielleicht kommst du ja von hier weiter.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Alayna |
> Hallo Alayna,
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> also versuchen wir es mal. Also du hast den Normalenvektor
> von [mm]E[/mm] ermittelt
> und dieser ist [mm]n_E= \vektor{1 \\ 1\\-1}[/mm]. Die Ebenen
> schneiden sich mit einem
> Schnittwinkel von [mm]60°[/mm] und der Cosinus von [mm]60°[/mm] ist [mm]0,5[/mm].
>
> Übernehmen wir deine Gleichung:
> [mm]0,5= (\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot{} \begin{pmatrix} o \\ p \\ q \end{pmatrix} \right|)/ (\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right|\cdot{}\left|\begin{pmatrix} o \\ p \\ q \end{pmatrix} \right|)[/mm]
> und das können wir umformen zu:
> [mm]\frac{o+p-q}{\wurzel{o^2+p^2+q^2}}=0,5[/mm]
>
ich glaube, du hast hier im nenner [mm] \wurzel{3} [/mm] vergessen. aber das tut nichts weiter zur sache..
> Jetzt wissen wir auch noch, dass unsere Punkte [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] in
> der Ebene [mm]F[/mm] liegen, daraus folgt, dass die Gerade [mm]g[/mm]
> durch die Punkte auch Element dieser Ebene [mm]F[/mm] ist.
>
>
>
> [mm]\rightarrow g: \vec x=\vektor{2 \\ 1\\0}+r\vektor{-1 \\ 3\\2}[/mm]
>
> Da diese Gerade in der Ebene [mm]F[/mm] liegt, muss das
> Skalarprodukt vom Richtungsvektor der Geraden und dem
> Normalenvektor
> [mm]n_F[/mm] der Ebene [mm]0[/mm] ergeben.
> [mm]\rightarrow \vektor{o \\ p\\q} \circ \vektor{-1 \\ 3\\2}=0 [/mm]
>
weil der normalenvektor einen winkel von 90° zur gerade hat (-> sin90=0) ?
> und das können wir auch so schreiben:
> [mm]-o+3p+2p=0[/mm]
>
> Wir können für unsere Ebene [mm]F[/mm] schon Folgendes sagen:
> [mm]F:(x- \vektor{2 \\ 1\\0}) \circ \vektor{o \\ p\\q}=0[/mm]
> und
> wir wissen Punkt [mm]B(1/4/2) \in F[/mm], daraus folgt:
> [mm]\rightarrow F:(\vektor{1 \\ 4\\2}- \vektor{2 \\ 1\\0}) \circ \vektor{o \\ p\\q}=0[/mm]
>
> und hieraus folgt diese Gleichung:
> [mm]-3o+2p+2q=0[/mm]
>
> Jetzt haben wir drei Gleichungen mit 3 Unbekannten:
> (1) [mm]\frac{o+p-q}{\wurzel{o^2+p^2+q^2}}=0,5[/mm]
> (2) [mm]-o+3p+2p=0[/mm]
> (3) [mm]-3o+2p+2q=0[/mm]
>
> Vielleicht kommst du ja von hier weiter.
> Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar
> sein, so frag bitte nach.
>
> Liebe Grüße
> Fugre
klingt sehr logisch! jetzt müsste ich das ganze hinbekommen!!danke für die hilfe :o)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Fugre |
Hi!
> > Hallo Alayna,
> >
> > also versuchen wir es mal. Also du hast den Normalenvektor
> > von [mm]E[/mm] ermittelt
> > und dieser ist [mm]n_E= \vektor{1 \\ 1\\-1}[/mm]. Die Ebenen
> > schneiden sich mit einem
> > Schnittwinkel von [mm]60°[/mm] und der Cosinus von [mm]60°[/mm] ist [mm]0,5[/mm].
> >
> > Übernehmen wir deine Gleichung:
> > [mm]0,5= (\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot{} \begin{pmatrix} o \\ p \\ q \end{pmatrix} \right|)/ (\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right|\cdot{}\left|\begin{pmatrix} o \\ p \\ q \end{pmatrix} \right|)[/mm]
> > und das können wir umformen zu:
> > [mm]\frac{o+p-q}{\wurzel{o^2+p^2+q^2}}=0,5[/mm]
> >
>
> ich glaube, du hast hier im nenner [mm]\wurzel{3}[/mm] vergessen.
> aber das tut nichts weiter zur sache..
Hast Recht, entschuldige bitte.
>
>
>
>
> > Jetzt wissen wir auch noch, dass unsere Punkte [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] in
> > der Ebene [mm]F[/mm] liegen, daraus folgt, dass die Gerade [mm]g[/mm]
> > durch die Punkte auch Element dieser Ebene [mm]F[/mm] ist.
> >
> >
> >
> > [mm]\rightarrow g: \vec x=\vektor{2 \\ 1\\0}+r\vektor{-1 \\ 3\\2}[/mm]
>
> >
> > Da diese Gerade in der Ebene [mm]F[/mm] liegt, muss das
> > Skalarprodukt vom Richtungsvektor der Geraden und dem
> > Normalenvektor
> > [mm]n_F[/mm] der Ebene [mm]0[/mm] ergeben.
> > [mm]\rightarrow \vektor{o \\ p\\q} \circ \vektor{-1 \\ 3\\2}=0[/mm]
>
> >
>
> weil der normalenvektor einen winkel von 90° zur gerade hat
> (-> sin90=0) ?
Ja, der Normalenvekor ist orthogonal zu Geraden und das Skalarprodukt von
Geraden, die senkrecht zueinander sind ist $0$.
>
> > und das können wir auch so schreiben:
> > [mm]-o+3p+2p=0[/mm]
> >
> > Wir können für unsere Ebene [mm]F[/mm] schon Folgendes sagen:
> > [mm]F:(x- \vektor{2 \\ 1\\0}) \circ \vektor{o \\ p\\q}=0[/mm]
> >
> und
> > wir wissen Punkt [mm]B(1/4/2) \in F[/mm], daraus folgt:
> > [mm]\rightarrow F:(\vektor{1 \\ 4\\2}- \vektor{2 \\ 1\\0}) \circ \vektor{o \\ p\\q}=0[/mm]
>
> >
> > und hieraus folgt diese Gleichung:
> > [mm]-3o+2p+2q=0[/mm]
> >
> > Jetzt haben wir drei Gleichungen mit 3 Unbekannten:
> > (1) [mm]\frac{o+p-q}{\wurzel{o^2+p^2+q^2}}=0,5[/mm]
> > (2) [mm]-o+3p+2p=0[/mm]
> > (3) [mm]-3o+2p+2q=0[/mm]
> >
> > Vielleicht kommst du ja von hier weiter.
> > Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas
> unklar
> > sein, so frag bitte nach.
> >
> > Liebe Grüße
> > Fugre
>
>
> klingt sehr logisch! jetzt müsste ich das ganze
> hinbekommen!!danke für die hilfe :o)
Liebe Grüße
Fugre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Alayna |
dieser teil kommt mir noch etwas komisch vor:
> > > wir wissen Punkt [mm]B(1/4/2) \in F[/mm], daraus folgt:
> > > [mm]\rightarrow F:(\vektor{1 \\ 4\\2}- \vektor{2 \\ 1\\0}) \circ \vektor{o \\ p\\q}=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > und hieraus folgt diese Gleichung:
> > > [mm]-3o+2p+2q=0[/mm]
denn (1-2)o=-o
(4-1)p=3p
(2-0)q=2q
und somit haben wir ein weiteres mal die schon gegebene gleichung
[mm]-o+3p+2p=0[/mm]
> > > Jetzt haben wir drei Gleichungen mit 3 Unbekannten:
> > > (1) [mm]\frac{o+p-q}{\wurzel{o^2+p^2+q^2}}=0,5[/mm]
> > > (2) [mm]-o+3p+2p=0[/mm]
> > > (3) [mm]-3o+2p+2q=0[/mm]
> > >
die dritte fällt weg, bzw. ist dieselbe wie die zweite.
das macht aber nichts, weil wir einen freiheitsgrad bei dem normalenvektor haben (es gibt keinen einzelnen normalenvektor, sondern einen vektor und dessen vielfache, die normalenvektoren sind)
ich hoffe, dass jetzt alles richtig da steht. danke für die hilfe :o)
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Das stimmt!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das stimmt nicht: [mm] $\sin [/mm] 90° \ = \ 1 \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
