Ebenen zur Schnittgeraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Di 21.11.2006 | | Autor: | cOw |
| Aufgabe | Geben Sie die Gleichungen zweier Ebenen in Parameter- und in Normalenform an, die die Gerade
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] k\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
als Schnittgerade haben! |
Ich komme einfach nicht auf den Ansatz, da ich bislang immer nur 2 Ebenen gegeben hatte und die Schnittgerade definieren musste.
Wäre nett, falls ihr mir helfen könntet die Ebenen zu bestimmten. Parameter- und Normalform kann ich dann auch selber machen!
Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Di 21.11.2006 | | Autor: | Fulla |
hi cOw!
häng an die gerade einfach noch einen weiteren richtungsvektor dran (der kein vielfaches des ersten ist). dann hast du eine ebene, in der die gerade liegt.
z.b.:
$E: [mm] \vektor{1\\2\\2}+k*\vektor{-1\\1\\0}+l*\vektor{1\\2\\3}$
[/mm]
jetzt brauchst du noch eine andere ebene, in der die grade liegt... hmm.... wo bekommst du die nur her?
wenn du eine gefunden hast, kannst noch die probe machen und beide gleichsetzen, und du wirst sehen: die ebenen schneiden sich in der geraden g.
lieben gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Di 21.11.2006 | | Autor: | cOw |
Also vielen Dank schonmal, aber ich hab bei Vektoren eine so hohe Fehlzeit gehabt, dass mir scheinbar nicht mal mehr das weiterhilft, denn ich komme auf keine 2. Ebene.
Natürlich könnte ich den Richtungsvektor wieder ändern, aber der Stützvektor kann ja so nicht bleiben oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Di 21.11.2006 | | Autor: | statler |
Hey!
> Also vielen Dank schonmal, aber ich hab bei Vektoren eine
> so hohe Fehlzeit gehabt, dass mir scheinbar nicht mal mehr
> das weiterhilft, denn ich komme auf keine 2. Ebene.
> Natürlich könnte ich den Richtungsvektor wieder ändern,
Genau, du wackelst ein bißchen mit dem Richtungsvektor...
(oder suchst dir einen - gute Übung - der auf den beiden bisherigen senkrecht steht)
> aber der Stützvektor kann ja so nicht bleiben oder?
...und der Stützvektor kann bequem so bleiben, denn er zeigt doch auf einen Punkt der Geraden, die in beiden Ebenen liegen soll.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 21.11.2006 | | Autor: | cOw |
Ok danke! Also kann ich theorethisch das Vektorprodukt der Richtungsvektoren von der Geraden und der ersten Ebene als Richtungsvektor der zweiten Ebene nehmen? oder ist das egal ob ichs so mache oder mir einen ausdenke?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Di 21.11.2006 | | Autor: | statler |
Hey!
> Ok danke! Also kann ich theoretisch das Vektorprodukt der
> Richtungsvektoren von der Geraden und der ersten Ebene als
> Richtungsvektor der zweiten Ebene nehmen? oder ist das egal
> ob ichs so mache oder mir einen ausdenke?
Nicht als Richtungsvektor, sondern als einen Spannvektor! Der andere Spannv. ist der Richtungsvektor der Geraden.
Aber du kannst dir natürlich auch einen ausdenken, mußt aber darauf aufpassen, daß es wirklich eine neue Ebene gibt. (Die 3 Vektoren müssen inear unabhängig sein, wenn dir das etwas sagt.)
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 21.11.2006 | | Autor: | cOw |
Irgendwie bin ich hier jetzt gerade total verwirrt! Könntest du mir evtl erklären wie genau es nun zu lösen ist? Nachdem mir sowas einmal vorgemacht wird, kann ich das einfach besser anwenden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Fulla |
hallo nochmal!
also, bei der einen ebene sind wir uns einig, oder?
$ E: [mm] \vektor{1\\2\\2}+k\cdot{}\vektor{-1\\1\\0}+l\cdot{}\vektor{1\\2\\3} [/mm] $
eine zweite ebene wäre zum beispiel:
$F: [mm] \vektor{1\\2\\2}+m*\vektor{-1\\1\\0}+n*\vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
den vektor [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] habe ich beliebig ausgewählt. das einzige, was man dabei beachten muss, ist, dass alle drei richtungsvektoren linear unabhängig sind.
zur probe:
[mm] \vektor{1\\2\\2}+k\cdot{}\vektor{-1\\1\\0}+l\cdot{}\vektor{1\\2\\3}=\vektor{1\\2\\2}+m*\vektor{-1\\1\\0}+n*\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
[mm] k\cdot{}\vektor{-1\\1\\0}+l\cdot{}\vektor{1\\2\\3}=m*\vektor{-1\\1\\0}+n*\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
-k+l=-m+n
k+2l=m-n
3l=n
=> -k+l=-m+3l <=> m-k=2l
k+2l=m-3l <=> m-k=5l
=> 2l=5l => l=0 => n=0 => m=k
das setzen wir jetzt in eine der ebenen gleichungen ein:
[mm] \vektor{1\\2\\2}+k\cdot{}\vektor{-1\\1\\0}+0\cdot{}\vektor{1\\2\\3}=\vektor{1\\2\\2}+k\cdot{}\vektor{-1\\1\\0}=g
[/mm]
also, ist die schnittgerade der von uns konstruierten ebenen genau die gegebene gerade.
ist jetzt alles klar?
lieben gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Fr 24.11.2006 | | Autor: | cOw |
Jo vielen Dank! Das war nötig :D
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