Ebenengleichung & 2Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Fr 26.08.2005 | | Autor: | dasIsa |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, bitte dringend um Hilfe:
Habe folgende Aufgabe gegeben:
E1: x-y-z=2 dazu soll ich die Ebene ermitteln, die auf E1 senkrecht steht und durch die Punkte P1 (0/1/1) und P2 (2/-1/1) geht
dazu habe dann versucht E1 erst mal in die normale Ebenengleichung zu bringen:
P= [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] ; Q= [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 0}; [/mm] R = [mm] \vektor{0 \\ 0\\-2}
[/mm]
weiß aber gar nicht ob das überhaupt so richtig ist...
demnach hätte ich dann aber für E1 raus: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + u1 [mm] \vektor{-2 \\ -2 \\ 0} [/mm] + u2 [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -2}
[/mm]
Dies habe ich dann in die NF Form gebracht mit Kreuzprodukt E1: [mm] \vec{x} [/mm] * [mm] [\vektor{-2 \\ -2 \\ 0} [/mm] x [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -2}] [/mm] = [mm] \vec{n} \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] und dann in die HNF Form gebracht: 1/ [mm] \wurzel{12} \vektor{2 \\ 2 \\ -2} \vec{x} [/mm] - 4/ [mm] \wurzel{12}
[/mm]
danach habe ich den Punkt P1 für [mm] \vec{x} [/mm] eingesetzt und habe |-4| / [mm] \wurzel{12} [/mm] und irgendwie habe ich jetzt überhaupt keine Ahnung, wie ich jetzt die Gleichung der zweiten Ebene bekomme :(
Bitte dringend um Hilfe!
Danke!!!!
|
|
| |
|
Hallo dasIsa,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Habe folgende Aufgabe gegeben:
> E1: x-y-z=2 dazu soll ich die Ebene ermitteln, die auf E1
> senkrecht steht und durch die Punkte P1 (0/1/1) und P2
> (2/-1/1) geht
>
> dazu habe dann versucht E1 erst mal in die normale
> Ebenengleichung zu bringen:
Die Überführung der Ebenengleichung zunächst in Parameterdarstellung und dann in Normalform ist etwas umständlich.
Es geht auch direkt:
[mm]E_{1} \;:\;\left( {\vec{x}\; - \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 \\
0 \\
0 \\
\end{array} } \right)} \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
{ - 1} \\
{ - 1} \\
\end{array} } \right)\; = \;0
[/mm]
Wir wissen das die Punkte [mm]P_{2}[/mm] und [mm]P_{1}[/mm] auf der zweiten Ebene liegen sollen. Weiterhin soll diese Ebene senkrecht stehen auf obigen Ebene.
Nun bilden wir den Differenzvektor [mm]\vec{d} \; = \;P_{2} \; - \;P_{1}[/mm]. Dies ist zugleich ein Richtungsvektor der Ebene [mm]E_{2}[/mm].
Jetzt bestimmen wir einen zu [mm]\vec{d}[/mm] und [mm]\overrightarrow n[/mm] orthogonalen Vektor [mm] \overrightarrow{n_{2}}[/mm]. Diesen Vektor ermittelt man über das Kreuzprodukt [mm] \overrightarrow{n_{2}}\;=\;\vec{d}\;\times\;\vec{n}[/mm].
Nun das war's auch schon. Die Gleichung der zu [mm]E_{1}[/mm] senkrechten und durch [mm]P_{2},\;P_{1}[/mm] gehenden Ebene lautet demnach:
[mm]E_{2} \;:\;\left( {\vec{x}\; - \;\overrightarrow{p_{1}} } \right)\;\left( {\vec{d}\; \times \;\vec{n}} \right)\; = \;0[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Sa 27.08.2005 | | Autor: | dasIsa |
so weit so gut! Danke!
Allerdings habe ich die Ebenen nun in einer Form, mit der ich irgendwie nicht viel anfangen kann, wenn ich jetzt die Schnittgerade beider berechnen soll.. Wie stelle ich die denn jetzt um?
Hier die zwei erhaltenen Ebenengleichungen:
E1: ( [mm] \vec{x}- \vektor{2 \\ 0\\ 0}) [/mm] ( [mm] \vektor{1 \\ -1\\-1})
[/mm]
E2: ( [mm] \vec{x}- \vektor{0 \\ 1 \\1}) [/mm] ( [mm] \vektor{2 \\ 2 \\0})
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo dasIsa,
> so weit so gut! Danke!
>
> Allerdings habe ich die Ebenen nun in einer Form, mit der
> ich irgendwie nicht viel anfangen kann, wenn ich jetzt die
> Schnittgerade beider berechnen soll.. Wie stelle ich die
> denn jetzt um?
> Hier die zwei erhaltenen Ebenengleichungen:
>
> E1: ( [mm]\vec{x}- \vektor{2 \\ 0\\ 0})[/mm] ( [mm]\vektor{1 \\ -1\\-1})[/mm]
>
> E2: ( [mm]\vec{x}- \vektor{0 \\ 1 \\1})[/mm] ( [mm]\vektor{2 \\ 2 \\0})[/mm]
>
der gangbare Weg, ist der, daß beide Ebenengleichungen in Parameterdarstellung überführt werden.
Eventuell reicht es auch schon eine Ebene in Parameterdarstellung zu überführen und in die andere Ebenengleichung einzusetzen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 So 28.08.2005 | | Autor: | dasIsa |
> der gangbare Weg, ist der, daß beide Ebenengleichungen in
> Parameterdarstellung überführt werden.
und wie geht das?
Gruß
Isa
|
|
|
| |
|
Hallo dasIsa,
> > der gangbare Weg, ist der, daß beide Ebenengleichungen in
> > Parameterdarstellung überführt werden.
>
> und wie geht das?
multipliziere die Ebenengleichung zunächst mal aus (Skalarprodukt):
[mm]
\begin{gathered}
E_1 :\;\left( {\overrightarrow x \; - \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 \\
0 \\
0 \\
\end{array} } \right)} \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
{ - 1} \\
1 \\
\end{array} } \right)\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;x_{1} \; - \;x_{2} \; + \;x_{3} \; = \;2 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Nun löse nach einer Variablen auf, hier z.B. [mm]x_{1}[/mm]:
[mm]x_{1} \; = \;2\; + \;x_{2} \; - \;x_{3} [/mm]
Setze nun [mm]x_{2} \; = \;u,\;x_{3} \; = \;v[/mm]
Dann folgt die Parameterdarstellung der Ebene [mm]E_{1}[/mm]:
[mm]\overrightarrow x \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 \\
0 \\
0 \\
\end{array} } \right)\; + \;u\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{array} } \right)\; + \;v\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 1} \\
0 \\
1 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Diese Parameterdarstellung der Ebene [mm]E_{1}[/mm] kannst Du jetzt in die Ebenengleichung [mm]E_{2}[/mm] einsetzen und ausmultiplizieren. Dann nach u oder v auflösen. Die so gewonnene Gleichung wiederum in die Parameterdarstellung der Ebene [mm]E_{1}[/mm] einsetzen und Du erhältst dann die Schnittgerade.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
es geht so ganz einfach:
Gegeben ist die Ebene E: x - y - z = 2
und die Punkte P (0 / 1 / 0) und P2 (2 / -1 / 1).
Gesucht ist die Ebene, die senkrecht zu E ist und durch P und P2 geht.
Das Problem kann auf das Aufstellen einer Ebene zurückgeführt werden, in der eine gegebene Gerade und 2 Punkte liegen.
Ein Richtungsvektor der Ebene muss der Normalenvektor von E sein, da die gesuchte Ebene senkrecht zu E stehen soll.
Einen weiteren Richtungsvektor erhältst du, wenn du den Richtungsvektor der Gerade durch P und Q berechnest:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0} [/mm] + t [mm] \vektor{0 - 2 \\ 1 - (-1) \\0-1}
[/mm]
= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0} [/mm] + t [mm] \vektor{-2 \\ 2) \\-1}
[/mm]
also ist die Ebene F: x = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0} [/mm] + l [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\-1} [/mm] + k [mm] \vektor{1 \\ -1 \\-1}.
[/mm]
|
|
|
|
