Ebenengleichungen/Schnittgerad < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
die Frage sieht folgend aus
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meine Lösung:
Herleitung der Ebenengleichungen:
[mm] e_1:\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\vec (OP_1)+\vec (P_1P_2)+\vec (P_1P_3)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+a_1\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}+b_1\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] e_2:\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\vec (OQ_1)+\vec (Q_1Q_2)+\vec (Q_1Q_3)=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}+a_2\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+b_2\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
Gleichsetzen:
[mm] a_1\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}+b_1\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+ a_2\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}+b_2\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}6 & 0 & -3 & -2 & | & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -2 & | & -1 \\ -4 & 0 & -2 & -4 & | & -4 \end{pmatrix}
[/mm]
Dreieckform:
[mm] \begin{pmatrix}6 & 0 & -3 & -2 & | & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -2 & | & -1 \\ 0 & 0 & -12 & -16 & | & -12 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] -12a_2-16b_2=-12 [/mm] also [mm] a_2=1-\bruch{4}{3}b_2 [/mm]
[mm] a_2 [/mm] in [mm] e_2 [/mm] einsetzen (Schnittgerade):
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}+ \left( \ 1- \bruch{4}{3}b_2 \right)\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+b_2\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+b_2\begin{pmatrix} -2 \\ \bruch {2}{3}\\ -\bruch{4}{3} \end{pmatrix}
[/mm]
Vorgegebene_Schnittgerade = Neue_Schnittgerade
[mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+b_2\begin{pmatrix} -2 \\ \bruch {2}{3}\\ -\bruch{4}{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}+a1\begin{pmatrix} 1 \\ -\bruch {1}{3}\\ -\bruch{2}{3} \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] a\begin{pmatrix} -1 \\ \bruch {1}{3}\\ \bruch{2}{3} \end{pmatrix}+ b\begin{pmatrix} -2 \\ \bruch {2}{3}\\ -\bruch{4}{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}
[/mm]
Und ab jetzt weiß ich nicht weiter. Wie kann ich sehen/berechnen ob “Die Berechnung einen Fehler besitzt“ (s.Aufg.) oder nicht?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Do 08.05.2008 | | Autor: | chrisno |
Du bist praktisch fertig.
Setz doch einfach mal ein: a = -1, b = -1.
Dann stimmt es zwar für die ersten beiden Komponenten, aber nicht für die dritte. Also ist es für diesen Fall falsch.
Das bleibt auch für alle anderen Fälle so:
Nimm irgendeinen Wert für a. Dann kannst Du aus der Gleichung für die erste Komponente b berechnen. Dann prüfe, ob dieses Paar a und b die beiden weiteren Gleichungen erfüllt.
|
|
|
| |
|
Danke für die schnell Anwort.
Ich habe ein kleines Tippfehler entdeckt - Plus mit Minus vertausch!
Richtig soll die Gleichung so lauten:
[mm] a\begin{pmatrix} -1 \\ \bruch {1}{3}\\ \bruch{2}{3} \end{pmatrix}+ b\begin{pmatrix} -2 \\ \bruch {2}{3}\\ \bruch{4}{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}
[/mm]
Nach dem Einsetzen a = -1 u. b = -1
[mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}
[/mm]
D.h. das "die Rechnung" stimmt!
Frage: Warum muss man bei der Prüfung für a und b "-1" einsetzen ?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Fr 09.05.2008 | | Autor: | chrisno |
Das ist ein Beispiel mit konkreten Zahlen zum Üben vor dem allgemeinen Fall. Irgendetwas mal -2 plus irgendetwas anderes mal -1 ergibt 3. Da bieten sich doch zwei -1 er an.
|
|
|
|
