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| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte [mm] A_{t}(2t+2/0/0), B_{t}(0/2+\bruch{2}{t}/0) [/mm] gegeben. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene [mm] F_{t} [/mm] in Normalenform, die den Punkt [mm] A_{t} [/mm] und den Punkt [mm] B_{t} [/mm] enthält und parallel zur [mm] x_{3}-Achse [/mm] verläuft.
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ich weiß ja wie man eine ebenengleichung in normalenform aufstellt, wenn ich weiß, dass sie EINEN bestimmten punkt enthalten soll. aber hier soll sie ja zwei vorgegebene punkte enthalten.
die normalenform sieht ja so aus:
[mm] [\vec{x}-\vec{p}] [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = 0
[mm] \vec{n} [/mm] kann ja beliebig sein, nur die x3-koordinate muss gleich 0 sein, da die Ebene ja parallel zur x3-Achse ist.
so kann ich z.B. [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ t \\ 0} [/mm] wählen.
aber wie bekomme ich den vektor [mm] \vec{p} [/mm] ? muss ich [mm] \overrightarrow{OA_{t}} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OB_{t}} [/mm] machen? oder wie mache ich das? kann jemand bitte mir helfen?
vielen vielen dank schon mal im voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Do 12.04.2007 | | Autor: | faker1818 |
ist das nicht bloß der punkt A?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Do 12.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheFan!
Dein gesuchter Normalenvektor der Ebene [mm] $E_t$ [/mm] steht sowohl senkrecht auf die [mm] $x_3$-Achse [/mm] als auch auf den Vektor [mm] $\overrightarrow{A_t B_t}$ [/mm] .
Mit diesem Normalenvektor sowie einem der beiden Punkte [mm] $A_t$ [/mm] oder [mm] $B_t$ [/mm] kannst Du dann die Ebene bestimmen.
Hilft Dir das weiter?
Gruß
Loddar
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vielen dank :)
also reicht es, wenn ich nur einen punkt nehme?
[ [mm] \vec{x}-\vektor{2t+2 \\ 0 \\ 0} [/mm] ] * [mm] \vektor{1 \\ t \\ 0} [/mm] = 0
x1 + t*x2 -2t -2=0
ist das denn so richtig?
ich habe noch ne frage, die ich schon eben gestellt habe, und zwar:
wenn die gesuchte ebene parallel zur x3-achse sein soll, kann ich immer die ersten beiden komponenten beliebig wählen und die dritte gleich 0 setzen?
ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Do 12.04.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo MatheFan2007,
wie Loddar schon geschrieben hat, muss [mm] \overrightarrow{n} [/mm] sowohl senkrecht auf der [mm] x_{3} [/mm] -Achse stehen als auch senkrecht zu [mm] \overrightarrow{A_{t}B_{t}} [/mm] sein. Also ist dein [mm] \overrightarrow{n} [/mm] falsch und auch bei anderen Ebenen parallel zur [mm] x_{3} [/mm] -Achse ist der Normalenvektor bis auf die [mm] x_{3} [/mm] -Komponente nicht beliebig, sondern hängt von den gegebenen Punkten oder anderen gegebenen Eigenschaften ab.
Gruß,
Vreni
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[mm] \overrightarrow{A_{t}B_{t}} [/mm] = [mm] \vektor{-2t-2 \\ 2+\bruch{2}{t} \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] (x3-Achse)
(-2t-2)*n1 + [mm] (2+\bruch{2}{t}) [/mm] * n2 = 0
1*n3 = 0
[mm] \gdw [/mm] n3 = 0
Wähle für n1 = 1
[mm] \gdw [/mm] -2t -2 + 2*n2 + [mm] \bruch{2}{t} [/mm] * n2 = 0
[mm] \gdw [/mm] n2 = t
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ t \\ 0} [/mm]
[mm] [\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{2t+2 \\ 0 \\ 0}] [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ t \\ 0} [/mm] = 0
x1 + tx2 - 2t - 2 = 0
ist das so richtig? da kommt das gleiche raus, aber habe jetzt so gemacht, wie ihr das gemeint habt
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| Aufgabe |
Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von [mm] F_{t} (t\not=2) [/mm] mit [mm] F_{2}. [/mm] |
hi,
danke für eure hilfe :)
ich habe noch eine frage zu einer anderen teilaufgabe der selben aufgabe.
ich hoffe, ihr helft mir weiter:
ich habs so gemacht...
[mm] E_{2}: [/mm] x1 + 2*x2 - 6 = 0
[mm] \gdw
[/mm]
x1 + 2*x2 - 6 = x1+t*x2 - 2 - 2t
[mm] \gdw [/mm] x2 = 2 und x1 = 2
aber wie kriege ich jetzt die geradengleichung raus?
vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast noch x3 beliebig, und da alle ebenen parallel zu x3Achse, muss auch die Schnittgerade dazu parallel sein! 9zur Kontrolle!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Do 12.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheFan!
Woher hast Du denn [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 2$ erhalten? Ich denke mal, dass Du hier [mm] $x_1$ [/mm] als Parameter [mm] $\kappa [/mm] \ := \ [mm] x_1$ [/mm] setzen solltest.
Damit erhältst Du dann als Gerade:
$g \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\kappa \\ 2 \\ 0} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0\\2\\0}+\vektor{\kappa \\ 0 \\ 0} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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also in der Musterlösung habe ich sowas stehen:
s: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] \delta [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \delta \varepsilon \IR
[/mm]
ich weiß nur nicht, wie man draufkommt...
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Hallo,
ich würde die Schnittgerade folgendermaßen berechnen:
Stelle zunächst ein Gleichungssystem auf:
1. [mm] x_{1}+tx_{2}=2t+2
[/mm]
2. [mm] x_{1}+2x_{2}=6
[/mm]
Und das löst du auf, bis du [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] freigestellt hast. Ich weiß nicht ob man das mit dem Formeleditor eingeben kann, also beschreibe ich es erstmal nur.
1. Schritt multipliziere die 2 Gleichung mit -1 und addiere sie zu der 1.
1. [mm] (t-2)x_{2}=2t-4
[/mm]
2. [mm] x_{1}+2x_{2}=6
[/mm]
2. Schritt dividiere die 1. Gleichung durch -(t-2) und die 2. Gleichung durch 2 und addiere die 1. zur 2. Gleichung
1. [mm] (t-2)x_{2}=2t-4
[/mm]
2. [mm] \bruch{1}{2}x_{1}=1
[/mm]
3. Schritt [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] freistellen:
1. [mm] x_{2}=2
[/mm]
2. [mm] x_{1}=2
[/mm]
Setze nun [mm] x_{3}=\lambda [/mm] und du kommst du folgender Geradengleichung:
[mm] g:\overrightarrow{OX}=\vektor{2 \\ 2 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Gruß,
Patrick
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Ja! Nimm doch "spaßeshalber" auch mal den anderen Punkt und berechne die Ebene.
