Ebenenschar & relative Lage < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Fr 02.12.2005 | | Autor: | hooover |
Hi Leute
ich hab da mal einige verständnis Fragen zu einer Aufgabe
also hier kommt sie
Untersuchen sie die relative Lage von E1 & E2
[mm] E_{1}: [\overrightarrow{OY}- \vektor{1 \\ 1 \\ 2 }] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] =0
[mm] E_{a,b}: [\overrightarrow{OY}- \vektor{4 \\ 2 \\ a }] \vektor{2 \\ b \\ 6} [/mm] =0
So a & b hab ich schon raus.
a= [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
b= 4
ich kann ja auch mal zeigen wie:
aus [mm] E_{a,b} [/mm] hab ich die Gleichung rausbekommen
2x + by +6z - 8 -2b -6a =0
und aus [mm] E_{1} [/mm] habe ich
1x + 2y + 3z - 9 = 0
so die beiden genau betrachtet ergab das [mm] E_{a,b} [/mm] das doppelte von [mm] E_{1}
[/mm]
ist. Dann halt [mm] E_{1} [/mm] verdoppelt und geschaut welcher Wert für a & b passt.
Ist sicher nicht eleganteste Methode, müßte aber richtig sein.
-------------------Vielleicht zeigst du mir eine bessere------------------------
Gut weiter.
Jetzt habe zwei Ebenegleichungen in der Normalenform.
[mm] E_{1}: [\overrightarrow{OY}- \vektor{1 \\ 1 \\ 2 }] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] =0
[mm] E_{2}: [\overrightarrow{OY}- \vektor{4 \\ 2 \\ \bruch{1}{3} }] \vektor{2 \\ 4 \\ 6} [/mm] =0
so jetzt zu der relativen Lage:
Es gibt doch nur zwei Möglichkeiten ODER?
1. Die Ebenen schneiden sich
2. Die Ebenen sind orthogonal zueinander
gibt es auch no ne dritte Möglichkeit?
schon mal danke für dein Interesse und Hilfe ciao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Fr 02.12.2005 | | Autor: | ribu |
> Hi Leute
> ich hab da mal einige verständnis Fragen zu einer Aufgabe
>
> also hier kommt sie
>
> Untersuchen sie die relative Lage von E1 & E2
>
> [mm]E_{1}: [\overrightarrow{OY}- \vektor{1 \\ 1 \\ 2 }] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> =0
>
> [mm]E_{a,b}: [\overrightarrow{OY}- \vektor{4 \\ 2 \\ a }] \vektor{2 \\ b \\ 6}[/mm]
> =0
>
> So a & b hab ich schon raus.
>
> a= [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> b= 4
>
> ich kann ja auch mal zeigen wie:
>
> aus [mm]E_{a,b}[/mm] hab ich die Gleichung rausbekommen
>
> 2x + by +6z - 8 -2b -6a =0
>
> und aus [mm]E_{1}[/mm] habe ich
>
> 1x + 2y + 3z - 9 = 0
>
> so die beiden genau betrachtet ergab das [mm]E_{a,b}[/mm] das
> doppelte von [mm]E_{1}[/mm]
> ist. Dann halt [mm]E_{1}[/mm] verdoppelt und geschaut welcher Wert
> für a & b passt.
>
> Ist sicher nicht eleganteste Methode, müßte aber richtig
> sein.
>
> -------------------Vielleicht zeigst du mir eine
> bessere------------------------
>
> Gut weiter.
>
> Jetzt habe zwei Ebenegleichungen in der Normalenform.
>
> [mm]E_{1}: [\overrightarrow{OY}- \vektor{1 \\ 1 \\ 2 }] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> =0
>
> [mm]E_{2}: [\overrightarrow{OY}- \vektor{4 \\ 2 \\ \bruch{1}{3} }] \vektor{2 \\ 4 \\ 6}[/mm]
> =0
>
> so jetzt zu der relativen Lage:
>
> Es gibt doch nur zwei Möglichkeiten ODER?
>
> 1. Die Ebenen schneiden sich
>
> 2. Die Ebenen sind orthogonal zueinander
>
> gibt es auch no ne dritte Möglichkeit?
ja klar gibt es die, ebenen können auch noch parallel zueinander sein
bei deine aufgeführten punkten, ist der 2. ein spezial fall des ersten, denn sie schneiden sich ja auch, allgemein unterscheidet man zwischen parallelen ebenen und sich schneidenden ebenen...
mfg ribu
> schon mal danke für dein Interesse und Hilfe ciao
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Hi, hooover,
> Untersuchen sie die relative Lage von E1 & E2
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> [mm]E_{1}: [\overrightarrow{OY}- \vektor{1 \\ 1 \\ 2 }] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> =0
>
> [mm]E_{a,b}: [\overrightarrow{OY}- \vektor{4 \\ 2 \\ a }] \vektor{2 \\ b \\ 6}[/mm]
> =0
>
> So a & b hab ich schon raus.
>
> a= [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> b= 4
Also zunächst mal: Ich verstehe die Frage so, dass Du in ABHÄNGIGKEIT der Parameter a und b Aussagen über die relative Lage der Ebenen machen sollst!
Davon ausgehend, dass Deine Lösung stimmt, gibt es dann drei verschiedene Fälle:
(1) Für a = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und b = 4 sind beide Ebenen IDENTISCH!
(2) Für b = 4, aber a [mm] \not= \bruch{1}{3} [/mm] sind die Ebenen ECHT PARALLEL.
(3) Für b [mm] \not= [/mm] 4 schneiden sich die Ebenen (in einer Geraden).
(3a) Hier könntest Du dann noch den Sonderfall ermitteln, dass beide Ebenen sich rechtwinklig schneiden, also orthogonal zueinander sind. Das zugehörige b berechnet sich mit Hilfe des Skalarprodukts:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} \circ \vektor{2 \\ b \\ 6} [/mm] = 0
<=> 2 + 2b + 18 = 0
<=> 2b = -20
<=> b = -10.
Heißt: Für b=-10 schneiden sich die Ebenen sogar rechtwinklig.
mfG!
Zwerglein
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