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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Ecken, Kanten von P=Q+C
Ecken, Kanten von P=Q+C < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ecken, Kanten von P=Q+C: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:11 Di 01.05.2018
Autor: Noya

Aufgabe
Seien
[mm] x_1=\vektor{1 \\ \bruch{1}{2} \\ 4}, x_2=\vektor{\bruch{4}{3}\\ \bruch{-1}{3} \\ \bruch{1}{3}}, x_3=\vektor{2 \\ 1\\ 0}, x_4=\vektor{1 \\ -1 \\ 2}, x_5=\vektor{1 \\ -1 \\ -1}, x_6=\vektor{-1 \\ 0\\ 2} [/mm]
und
[mm] y_1=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, y_2=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, y_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]

Bestimmen Sie die Ecken und unbeschränkten Kanten von
[mm] $P=Q+C=conv(x_1,...,x_6)+cone(y_1,y_2,y_3)$ [/mm] und damit die Minimaldarstellung für $P$, d.h. welche [mm] $x_i,y_j$ [/mm] man weglassen kann.
Tipp1: Welche [mm] $x_i$ [/mm] sieht man ihre Eckeneigenschaft bezüglich $Q$ an?
Tipp2: Welche Ecken von $Q$ sind direkt auch Ecken von $P$?

Hallöchen ihr Lieben,
vorab ein paar Informationen aus unserem Skript:

$ [mm] conv(D)=\{x \in \IR : \exists L \in \IN, \exists x_1,...,x_n \in D, \exists \lambda_1,...,\Lambda_L \in [0,1] mit \sum_{l=1}^{L} \lambda_l =1, so dass x=\sum_{l=1}^{L} \lambda_l \cdot{}x_l\} [/mm] $
$ [mm] cone(x_1,...,x_m)=\{\lambda_1\cdot{}x_1+...+\lambda_m\cdot{}x_m : \lambda_1,...,\Lambda_m \ge 0\} [/mm] $

$Q + C := {y [mm] \in \IR^n [/mm] : [mm] \exists x_1 \in [/mm] Q [mm] \exists x_2 \in [/mm] C y = x1 + x2}$ Minkowski-Addition von Mengen (elementweise)

Ich weiß, dass man irgendwie mit Fourier-Motzkin-Elimination die [mm] $x_i,y_j$ [/mm] berechnen kann. Aber was genau ich hier machen muss, weiß ich leider nicht.

Kann mir jemand dabei helfen den richtigen Weg zu finden und das auch zu verstehen?

Liebe Grüße
Noya

        
Bezug
Ecken, Kanten von P=Q+C: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 07:25 Mi 02.05.2018
Autor: Noya

Okay.
P soll ja so aussehen [mm] P=\{x\in \IR^n : Ax \le b\} [/mm]
[mm] P=Q+C=conv(x_1,...x_6)+cone(y_1,y_2,y_3)=\{ x \in \IR^n, \lambda \in \IR^+, \mu \in \IR^+ : x=\sum_{i=1}^{6}\lambda_ix_i + \sum_{j=1}^{3}\mu_jx_j, \sum_{i=1}^{6}\lambda_i=1\} [/mm]


habe jetzt versucht mir daraus ein gleichungssystem zu basteln, wobei ich nicht weiß was dieser Vektor x ist. sei also einfach [mm] x=(a,b,c)^t [/mm]

[mm] \lambda1+\bruch{4}{3}\lambda_2+2\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5-\lambda_6 +\mu_1 +\mu_2=a [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\lambda_1-\bruch{1}{3}\lambda_2+\lambda_3-\lambda_4-\lambda_5 +\mu_1=b [/mm]
[mm] 4\lambda_1+\bruch{1}{3}\lambda_2+2\lambda_4-\lambda_5+2\lambda_6+\mu_1+\mu_2+\mu_3=c [/mm]
[mm] \lambda1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5+\lambda_6=1 [/mm]
[mm] \lambda_i \ge [/mm] 0
[mm] \mu_j \ge [/mm] 0

und würde dann jetzt Versuchen mittels Fourier-Motzkin-Elimination die [mm] \lambda_i [/mm] und [mm] \mu_j [/mm] zu eliminieren und um so herrauszufinden welche [mm] x_i [/mm] und [mm] y_j [/mm] ich weglassen kann.

Ist die Idee so korrekt?

Bezug
                
Bezug
Ecken, Kanten von P=Q+C: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:20 Fr 04.05.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Ecken, Kanten von P=Q+C: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:15 Mi 02.05.2018
Autor: Noya

so ich versuche mich jetzt als erstes an den Hinweisen:
Tipp1: Welche $ [mm] x_i [/mm] $ sieht man ihre Eckeneigenschaft bezüglich $ Q $ an?
[mm] x_i=(x,y,z)^t [/mm]
die werte auf der x-Achse sind zwischen -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2
bzgl y-Achse : [mm] -1\le y\le [/mm] 1
bzgl z-Achse : -1 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 4
außerdem ist [mm] x_2 [/mm] lin abhängig und liegt im innerern der Konvexen Menge
also sind [mm] x_1,x_3,x_4,x_5,x_6 [/mm] die Ecken von [mm] Q=conv(x_1,...,x_6) [/mm]

Tipp2: Welche Ecken von $ Q $ sind direkt auch Ecken von $ P $?
Ich habe versucht mir das zu zeichen.
Ich würde sagen, dass alle Ecken von Q auch Ecken des Polyeders P sind.


zusätzlich Hinweis aus Skript.
"Die konische Hülle cone D ist die Menge aller nichtnegativer Linearkombinationen endlich vieler Punkte aus D. Sie ist der bezüglich Mengeninklusion kleinste Kegel, der D enthält.

Die konvexe Hülle conv D ist die Menge aller nichtnegativer Linearkombinationen endlich vieler Punkte aus D, so daß sich die Skalarfaktoren zu 1 addieren (Konvexkombinationen). Sie ist die bezüglich Mengeninklusion kleinste konvexe Menge, die D enthält."


Eine weitere Sache aus dem Skript die mir hier weiterhelfen könnte :

"Eckenenumeration mittels Fourier-Motzkin Elimination
Gegenstand dieses Abschnitts ist eine algorithmische Umsetzung des Wechsels zwischen den beiden Polyederdarstellungen (Durchschnitt endlich vieler Halbräume oder Minkowski-Summe aus Polytop und Kegel) im Darstellungssatz.
Satz:
Sei [mm] P:=\{x \in \IR^n: Ax\le b \} [/mm] mit 0 [mm] \in [/mm] P. Eine Darstellung
[mm] P=conv(V_0)+cone(V_1) [/mm]
mit endlichen Mengen [mm] V_0,V_! [/mm] von Vektoren aus [mm] \IR^n, [/mm] kann dann mittels Fourier-Motzkin-Elimination ermittelt werden.
Beweis:
Betrachte das polare Plyeder [mm] P^{\*} [/mm] von P:
[mm] P^{\*}:=\{\nu \in \IR^n: \nu^t u \le 1 \forall u \in P\}. [/mm]
Nach den Aussagen (i) und (ii) in Satz 2.28(a) ist [mm] P^{\*} [/mm] ein Polyeder mit [mm] P^{\*\*} [/mm] = P. P sei nun dargestellt als [mm] {x\in \IR : Ax \le b}, [/mm] wobei A so skaliert ist, daß [mm] b_i \in \{0,1\} [/mm] für alle Komponenten [mm] b_i,i [/mm] = 1,...,m. Dies ist möglich, da 0 [mm] \in [/mm] P zur Folge hat, daß [mm] b\ge [/mm] 0. Teil (iv) von Satz 2.28(a) ergibt dann, wobei [mm] a_i [/mm] die Zeilen von A sind
[mm] P^{\*}=conv(\{0\}\cup \cup_{b_i=1} \{a_i\})+cone(\cup_{b_i=1} \{a_i\}) [/mm]
Deshalb
[mm] P^{\*} :=\{x \in \IR^n : \exists \lambda \in \IR^{|bi=1|}_{+}, \exists \mu \in \IR^{|bi=1|}_{+} x =\sum_{i}\lambda_i a_i+\sum_{k}\mu_k a_k, \sum_{i}\lambda_i=1\} [/mm]

und somit [mm] P^{\*} [/mm] = [mm] \mathcal{P}^{\*}_{(\lambda,\mu)} [/mm] wobei letzteres die Projektion längs [mm] (\lambda,\mu) [/mm] folgender Menge
[mm] \mathcal{P}^{\*}=\{(\x,\lambda,\mu): x =\sum_{i}\lambda_i a_i+\sum_{k}\mu_k a_k, \sum_{i}\lambda_i=1, \lambda\ge 0 \mu \ge 0\}. [/mm]
eliminiert man nun mittels Fourier-Motzkin [mm] (\lambda,\mu), [/mm] so erhält man die folgende Ungleichungsbeschreibung
[mm] P^{\*} [/mm] = [mm] \{u \in \IR : H_0u \le h\} [/mm]
welche so eingerichtet sei, daß keine redundanten Zeilen auftreten. Da zudem 0 [mm] \in P^{\*} [/mm] und wieder so skaliert werden kann, daß [mm] h_i \in\{0,1\} [/mm] für alle Komponenten [mm] h_i [/mm] von h, ergibt die Anwendung von [mm] P^{\*\*} [/mm] = P
P = [mm] P^{\*\*} [/mm] = [mm] conv(\{0\}\cup \cup_{h_i=1}\{h_{0i}\}) [/mm] + [mm] cone(\cup_{h_i=0}\{h_{0i}\} [/mm]
wobei [mm] h_{0i},h_{1i} [/mm] die Zeilen von [mm] H_0 [/mm] sind. Die gewünschte Darstellung ist gefunden. "


Müsste ich die Sachen aus dem Beweis nicht auch auf mein problem hier anwenden können?

Bezug
                
Bezug
Ecken, Kanten von P=Q+C: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 04.05.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Ecken, Kanten von P=Q+C: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Fr 04.05.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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