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Forum "Uni-Stochastik" - Ecken eines Tetraeders
Ecken eines Tetraeders < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ecken eines Tetraeders: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 Do 07.05.2020
Autor: Steve96

Aufgabe
Ein gleichseitiger homogener Tetraeder, dessen Ecken mit $1,2,3,4$ bezeichnet sind, wird einmal geworfen.


Für $i, j [mm] \in \{1, \ldots, 4 \}$ [/mm] mit $i < j$ setze [mm] $A_{ij}$ [/mm] := "Ecke i und Ecke j liegen unten".


Zeige, dass die drei Ereignisse [mm] $A_{ij}, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] 3$, paarweise unabhängig aber nicht (vollständig) unabhängig sind.

Hallo, ich hänge bei der obigen Aufgabe fest.

Würde mich freuen, wenn jemand mir dabei helfen könnte.





Ein Tetraeder wird 1x geworfen.


Je nachdem, mit welcher Fläche der Tetraeder auf dem Boden landet, können bei einem Wurf folgende Möglichkeiten auftreten:



[mm] $A_{12}, A_{13}$ [/mm] und [mm] $A_{23}$ [/mm]     oder

[mm] $A_{12}, A_{14}$ [/mm] und [mm] $A_{24}$ [/mm] oder

[mm] $A_{13}, A_{14}$ [/mm] und [mm] $A_{34}$ [/mm] oder

[mm] $A_{23}, A_{24}$ [/mm] und [mm] $A_{34}$ [/mm]



Die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(A_{ij})$ [/mm] für $i, j [mm] \in \{1,2,3,4 \}$ [/mm] mit $i < j$ ist immer [mm] $\frac{1}{2}$. [/mm]


Wie kann ich aber zeigen, dass die Ereignisse [mm] $A_{ij}, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] 3$  paarweise unabhängig sind ?


Müsste ich dazu nicht die Ereignisse erstmal mathematisch durch Mengen ausdrücken, um die Definition der Unabhängigkeit zweier Ereignisse anzuwenden ? Falls ja, wie drückt man diese aus ?

Ich versuche das schon seit einer guten Weile, aber komme nicht auf einen vernünftigen Ansatz.



Freue mich auf ein paar Vorschläge.

mfg, Steve


        
Bezug
Ecken eines Tetraeders: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Do 07.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Hallo, ich hänge bei der obigen Aufgabe fest.

Unverständlich, wo du sie doch schon fast selbst gelöst hast…

> Je nachdem, mit welcher Fläche der Tetraeder auf dem Boden landet, können bei einem Wurf folgende Möglichkeiten auftreten:

> [mm]A_{12}, A_{13}[/mm] und [mm]A_{23}[/mm]     oder
>  
> [mm]A_{12}, A_{14}[/mm] und [mm]A_{24}[/mm] oder
>  
> [mm]A_{13}, A_{14}[/mm] und [mm]A_{34}[/mm] oder
>  
> [mm]A_{23}, A_{24}[/mm] und [mm]A_{34}[/mm]

Jo, das entspricht also den vier Flächen auf denen der Tetraeder landen kann.

> Die Wahrscheinlichkeit [mm]P(A_{ij})[/mm] für [mm]i, j \in \{1,2,3,4 \}[/mm] mit [mm]i < j[/mm] ist immer [mm]\frac{1}{2}[/mm]

Denke ich auch.


> Wie kann ich aber zeigen, dass die Ereignisse [mm]A_{ij}, 1 \le i < j \le 3[/mm]   paarweise unabhängig sind ?

Wie lautet denn die Definition von Unabhängigkeit?

> Müsste ich dazu nicht die Ereignisse erstmal mathematisch
> durch Mengen ausdrücken, um die Definition der
> Unabhängigkeit zweier Ereignisse anzuwenden ? Falls ja,
> wie drückt man diese aus ?

Das hast du doch bereits… deine [mm] $A_{ij}$ [/mm] sind doch Mengen, sonst würde auch der Ausdruck  [mm]P(A_{ij})[/mm] doch gar keinen Sinn mehr machen.

Du hast das ja oben schon schön gruppiert und wie ich erwähnte hast du einfach die Ecken, die unten liegen oben zusammengefasst als Fälle.
Das ist aber gleichbedeutend mit der Fläche, die untenliegt.

Nennen wir also [mm] $F_{123}$ [/mm] mal die Fläche, die durch die Ecken 1,2,3 begrenzt wird, dann gilt doch offensichtlich:

[mm] $F_{123} [/mm] = [mm] A_{12} \cap A_{23} [/mm] = [mm] A_{12} \cap A_{23} [/mm] = [mm] A_{13} \cap A_{23}$ [/mm]

Das kannst du wie folgt lesen:

Fläche 123 [mm] ($F_{123}$) [/mm] liegt unten, wenn sowohl die Ecken 1,2 unten liegen [mm] ($A_{12}$) [/mm] als auch die Ecken 2,3 [mm] ($A_{23}$). [/mm]

Nun kannst du hoffentlich bestimmen, ob die [mm] $A_{ij}$ [/mm] paarweise unabhängig sind.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Ecken eines Tetraeders: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Fr 08.05.2020
Autor: HJKweseleit

Das Ereignis, bei dem die Ecken a,b und c unten liegen, lässt sich durch das Tripel (a,b,c) beschreiben. Somit gibt es die 4 Ausfälle

(1,2,3), (1,2,4), (1,3 4) und (2,3,4), alle gleichwahrscheinlich.

[mm] A_{12}={(1,2,3), (1,2,4)} [/mm]
[mm] A_{13}={(1,2,3), (1,3,4)} [/mm]
[mm] A_{23}={(1,2,3), (2,3,4)} [/mm]


mit [mm] p(A_{ij})=1/2. [/mm]

Rest kannst du nun sofort erkennen.



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