Ecken eines Zonotops < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:57 Di 10.01.2012 | | Autor: | rainman_do |
| Aufgabe | | Ein Zonotop ist ein Polytop, das als Minkowski-Summe von Strecken dargestellt werden kann. Bestimme die Ecken eines zweidimensionalen Zonotops $Z = Z(a, b, c) := [−a, a] + [−b, b] + [−c, c]$ für drei beliebige Vektoren $a, b, c$ in der Ebene. (Hierbei sind $a, b, c$ drei Vektoren, von denen keine zwei proportional zueinander sind.) |
Hallo Zusammen, nach einigen Zeichnungen hab ich mir nun klar gemacht, was ein Zonotop ist. Die Minkowski Summe ist auch klar [mm] $A+B:=\{a+b : a \in A, b\in B\}. [/mm] Meiner Meinung nach sind die Ecken dann die Summen der Intervallgrenzen in Tupeln (-a-b-c,-a-b-c), (-a-b-c, -a+b-c), (-a+b-c,-a,-b-c), ....
Das ist aber auch nicht ganz richtig, weil man so zu viele "Ecken" erhält....wo ist denn da mein Denkfehler??
Vielen Dank schon mal im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ein Zonotop ist ein Polytop, das als Minkowski-Summe von
> Strecken dargestellt werden kann. Bestimme die Ecken eines
> zweidimensionalen Zonotops [mm]Z = Z(a, b, c) := [−a, a] + [−b, b] + [−c, c][/mm]
> für drei beliebige Vektoren [mm]a, b, c[/mm] in der Ebene. (Hierbei
> sind [mm]a, b, c[/mm] drei Vektoren, von denen keine zwei
> proportional zueinander sind.)
Was genau ist $[a, a]$? Ist das nicht einfach die Strecke von $a$ nach $a$? Also konkret die Menge [mm] $\{ a \}$, [/mm] die nur aus dem Punkt $a$ besteht?
Falls das so ist, kannst du $Z(a, b, c)$ konkret hinschreiben: es besteht ebenfalls nur aus einem Punkt.
Ich bezweifle allerdings, dass dies der Sinn der Aufgabe ist...
LG Felix
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oh, da ist beim abschreiben ein Fehler passiert... das sollte jeweils [-a,a], [-b,b] und [-c,c] heißen...
Ich hab mir mittlerweile überlegt, dass die Ecken einfach a-b-c, a-b+c, usw. sind...allerdings sind nicht alle diese Werte zwangsweise Ecken, oder? Ich weiß da echt nicht weiter....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> oh, da ist beim abschreiben ein Fehler passiert... das
> sollte jeweils [-a,a], [-b,b] und [-c,c] heißen...
Dann macht das ganze gleich mehr Sinn 
> Ich hab mir mittlerweile überlegt, dass die Ecken einfach
> a-b-c, a-b+c, usw. sind...allerdings sind nicht alle diese
> Werte zwangsweise Ecken, oder?
Genau. Es sind genau 6 von diesen Punkten Ecken, und zwei liegen im Inneren.
Die Bedingung an $a, b, c$ sagt ja, dass jeweils zwei von ihnen linear unabhaengig sind. Damit kannst du eine Koordinatentransformation machen, so dass $a = [mm] \vektor{1 \\ 0}$, [/mm] $b = [mm] \vektor{0 \\ 1 }$ [/mm] und $c = [mm] \vektor{x \\ y}$ [/mm] ist mit $x [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] y$.
Damit ist $[-a, a] + [-b, b]$ das Quadrat $[-1, [mm] 1]^2$, [/mm] und $[-1, [mm] 1]^2 [/mm] + [-c, c]$ ist das Quadrat etwas durch die Gegend geschoben.
Wenn du jetzt eine Fallunterscheidung machst bzgl. dem Vorzeichen von $x [mm] \cdot [/mm] y$, kannst du jeweils die Ecken genau hinschreiben. Da so eine Koordinatentransformation die Ecken nicht veraendert kannst du damit auch die Ecken vom urspruenglichen Zonotop hinschreiben.
LG Felix
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Ah, ok. Danke erstmal für die Antwort.
Ich finde es ein wenig seltsam, dass es 6 Ecken geben soll... Das Quadrat hat 4 Ecken und das verschiebe ich doch durch c nur, oder?
Also [mm] $[-1,1]^2+[-c,c]$ [/mm] kann man doch dann schreiben als
$(-1,-1)-c, (-1,-1)+c, (-1,1)-c, (-1,1)+c,...$
insgesamt 8 Punkte. ... aber wo kommen die beiden ecken zusätzlich zu denen vom Quadrat her???...sehr seltsam :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ah, ok. Danke erstmal für die Antwort.
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> Ich finde es ein wenig seltsam, dass es 6 Ecken geben
> soll... Das Quadrat hat 4 Ecken und das verschiebe ich doch
> durch c nur, oder?
Durch Vielfache von $c$, und alle diese Translate vereinigst du.
Zeichne das doch mal auf! (Etwa mit $c = [mm] \vektor{1 \\ 1}$.) [/mm] Dann siehst du sofort was passiert.
LG Felix
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