Eig. der reellen Zahlen - Bew. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Di 10.11.2009 | | Autor: | ersti09 |
| Aufgabe | Beweis des folgenden Lemmas:
Sei x, y [mm] \in \IR, [/mm] x > 0, y [mm] \ge [/mm] 0, n [mm] \in \IN.
[/mm]
(i) Wenn [mm] y^{n} [/mm] < x, dann gibt es ein reelles [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so dass auch (y + [mm] \varepsilon)^{n} [/mm] < x.
(ii) Wenn [mm] y^{n} [/mm] > x, dann gibt es ein reelles [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so dass auch (y - [mm] \varepsilon)^{n} [/mm] > x.
1. Beweisen Sie, dass (1-x) [mm] \summe_{k=0}^{n-1} x^{k} [/mm] = [mm] 1-x^{n} [/mm] (Erinnern Sie sich an folgende Aufgabe:
Sei K ein Körper. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für
x [mm] \not= [/mm] 1 die Formel
[mm] \summe_{k=o}^{n} x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x}
[/mm]
für alle n [mm] \in [/mm] N gilt.
Und behandeln Sie x=1 getrennt.)
2. Beweisen Sie, dass (a-b) [mm] \summe_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^{k} [/mm] = [mm] a^{n} [/mm] - [mm] b^{n}. [/mm] (Setzen Sie x = [mm] \bruch{b}{a} [/mm] in 1. ein und behandeln Sie a=0 getrennt.)
3. Es gelte 0 < b < a. Beweisen Sie, dass [mm] a^{n} [/mm] - [mm] b^{n} \le n(a-b)a^{n-1}. [/mm] (Zeigen Sie zunächst, dass [mm] a^{n-k-1} b^{k} [/mm] < [mm] a^{n-1}.)
[/mm]
4. Seien a [mm] \ge [/mm] 0, c > 0 und n [mm] \in \IN. [/mm] Beweisen Sie unter Benutzung der Archimedischen Eigenschaft von [mm] \IR, [/mm] dass es ein m [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass
[mm] (a+\bruch{1}{m})^{n} [/mm] - [mm] a^{n} [/mm] < c.
(Benutzen Sie 3. und die Abschätzung [mm] a+\bruch{1}{m} \le [/mm] a+1.)
5. Sei x>0, [mm] y\ge0 [/mm] und [mm] y^{n} |
Hallo,
ich bin neu hier in diesem Forum und hab ein kleines (oder größeres) Problem mit meinem Übungsblatt und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Ich überleg jetzt schon seit Freitag an der Aufgabe rum und bin auch zu Lösungsansätzen gekommen, die aber alle nicht richtig sind.
Ich weiß, dass das ganz schon viele Aufgaben sind, aber ich hoffe, dass ich hier jemanden finde, der mir helfen kann. Ich komm mit den Aufgaben garnicht zurecht und brauch dringend Hilfe.
Gruß
ersti09
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Di 10.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweis des folgenden Lemmas:
> Sei x, y [mm]\in \IR,[/mm] x > 0, y [mm]\ge[/mm] 0, n [mm]\in \IN.[/mm]
> (i) Wenn
> [mm]y^{n}[/mm] < x, dann gibt es ein reelles [mm]\varepsilon[/mm] > 0, so
> dass auch (y + [mm]\varepsilon)^{n}[/mm] < x.
> (ii) Wenn [mm]y^{n}[/mm] > x, dann gibt es ein reelles [mm]\varepsilon[/mm]
> > 0, so dass auch (y - [mm]\varepsilon)^{n}[/mm] > x.
>
> 1. Beweisen Sie, dass (1-x) [mm]\summe_{k=1}^{n-1} x^{k}[/mm] =
> [mm]1-x^{n}[/mm]
Hier soll doch ganz sicher nicht [mm] $\sum_{k=1}^{n-1}$, [/mm] sondern [mm] $\sum_{k=0}^{n-1}$ [/mm] stehen, oder?
> (Erinnern Sie sich an folgende Aufgabe:
> Sei K ein Körper. Zeigen Sie durch vollständige
> Induktion, dass für
> x [mm]\not=[/mm] 1 die Formel
> [mm]\summe_{k=o}^{n} x^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm]
> für alle n [mm]\in[/mm] N gilt.
> Und behandeln Sie x=1 getrennt.)
>
> 2. Beweisen Sie, dass (a-b) [mm]\summe_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^{k}[/mm]
> = [mm]a^{n}[/mm] - [mm]b^{n}.[/mm] (Setzen Sie x = [mm]\bruch{b}{a}[/mm] in 1. ein und
> behandeln Sie a=0 getrennt.)
>
> 3. Es gelte 0 < b < a. Beweisen Sie, dass [mm]a^{n}[/mm] - [mm]b^{n} \le n(a-b)a^{n-1}.[/mm]
> (Zeigen Sie zunächst, dass [mm]a^{n-k-1} b^{k}[/mm] < [mm]a^{n-1}.)[/mm]
>
> 4. Seien a [mm]\ge[/mm] 0, c > 0 und n [mm]\in \IN.[/mm] Beweisen Sie unter
> Benutzung der Archimedischen Eigenschaft von [mm]\IR,[/mm] dass es
> ein m [mm]\in \IN[/mm] gibt, so dass
> [mm](a+\bruch{1}{m})^{n}[/mm] - [mm]a^{n}[/mm] < c.
> (Benutzen Sie 3. und die Abschätzung [mm]a+\bruch{1}{m} \le[/mm]
> a+1.)
>
> 5. Sei x>0, [mm]y\ge0[/mm] und [mm]y^{n}
> reelles [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt, so dass
> [mm](y+\varepsilon)^{n}
> Hallo,
>
> ich bin neu hier in diesem Forum und hab ein kleines (oder
> größeres) Problem mit meinem Übungsblatt und hoffe, dass
> ihr mir helfen könnt.
> Ich überleg jetzt schon seit Freitag an der Aufgabe rum
> und bin auch zu Lösungsansätzen gekommen, die aber alle
> nicht richtig sind.
> Ich weiß, dass das ganz schon viele Aufgaben sind, aber
> ich hoffe, dass ich hier jemanden finde, der mir helfen
> kann. Ich komm mit den Aufgaben garnicht zurecht und brauch
> dringend Hilfe.
Es ist eine grosse Aufgabe, mit einer Anleitung, wie du vorgehen sollst. Wo genau haengst du bei den einzelnden Schritten?
Bei 1. brauchst du doch fast nichts mehr zu tun, du hast einmal die Uebungsaufgabe fuer $x [mm] \neq [/mm] 1$ und dann musst du dir noch $x = 1$ anschauen.
Bei 2. steht genau was du bei 1. einsetzen sollst; hast du das mal einfach getan?
Bei 3. sollst du was zeigen. Du hast einen Hinweis gegeben, was du zuerst zeigen sollst. Hast du das mal probiert? Dieser Hinweis zeigt dir auch, wie du weitermachen sollst: naemlich die Gleichheit bei 2. nehmen und jeweils in der Summe alle Summanden abziehen!
Bei 4. verwendest du wieder 3., und halt die archimedische Eigenschaft. Ueberleg dir mal was du hast, wenn du 3. verwendest, und was die archimedische Eigenschaft da helfen koennte.
Und schliesslich musst du 4. verwenden, um 5. zu zeigen. Das ist auch nicht so schwer. Ueberleg dir doch mal, wie du 4. hier einsetzen kannst.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:09 Mi 11.11.2009 | | Autor: | ersti09 |
hallo, danke erstmal für deine schnelle antwort.
bei 1. und 2. hab ich ewig gerechnet, bin da aber auf völlig unsinnige ergebnisse gekommen und bei 3. hab ich zum schluss rausbekommen [mm] a\leb^{n+1}, [/mm] was ja auch nich so wirklich stimmt, oder?
Und bei 4. ist m=1 meiner meinung nach, also ist [mm] a+1=a+\bruch{1}{m}, [/mm] und wie genau ich da jetzt die archimedische Eigenschaft anwenden soll ist mir auch nicht ganz klar.
Und 5. kann ich ja nicht zeigen, weil ich 4. verwenden soll, was ich ja nochnichteinmal richtig verstanden hab.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Gruß
ersti09
|
|
|
| |
|
> hallo, danke erstmal für deine schnelle antwort.
> bei 1. und 2. hab ich ewig gerechnet, bin da aber auf
> völlig unsinnige ergebnisse gekommen
Hallo,
wenn wir Dir helfen sollen, müssen wir sehen, was Du tust.
In 1. sollst Du zeigen, daß für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt: (1-x) $ [mm] \summe_{k=0}^{n-1} x^{k} [/mm] $ = $ [mm] 1-x^{n} [/mm] $.
Was hast Du dafür getan? Es gab ja den inweis, daß Du die bereits bewiesene Formel für die endliche geometrische reihe verwenden kannst.
Für 2. ist ebenfalls eine genaue Anleitung gegeben. Wie hast Du diese umgesetzt?
Ich denke, wir sollten erstmal bis zu diesem Punkt kommen und anschließend mit 3. weitermachen, damit es nicht zu unübersichtlich wird.
Gruß v. Angela
und bei 3. hab ich
> zum schluss rausbekommen [mm]a \le b^{n+1},[/mm] was ja auch nich so
> wirklich stimmt, oder?
> Und bei 4. ist m=1 meiner meinung nach, also ist
> [mm]a+1=a+\bruch{1}{m},[/mm] und wie genau ich da jetzt die
> archimedische Eigenschaft anwenden soll ist mir auch nicht
> ganz klar.
> Und 5. kann ich ja nicht zeigen, weil ich 4. verwenden
> soll, was ich ja nochnichteinmal richtig verstanden hab.
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
> Gruß
> ersti09
|
|
|
|
