Eigenfunktionen und Eigenwerte < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Di 13.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Betrachte für ein eindimensionales beschränktes Gebiet [mm] $\Omega=]a,b[$ [/mm] (mit [mm] $a,b\in\IR$) [/mm] den Laplace-Operator
$ [mm] A:=-\triangle:L^2(\Omega)\supset D(A)=H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)\longrightarrow R(A)=L^2(\Omega)\quad\text{mit}\quad u(x)\longmapsto\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}u(x) [/mm] $
Bestimme die zugehörigen Eigenfunktionen und Eigenwerte von $A$. |
Hallo an alle,
könnte mir jemand bei diesem Problem behilflich sein? Mir ist irgendwie nicht klar, wie ich die Eigenfunktionen und Eigenwerte bestimmen kann.
Da [mm] $\Omega$ [/mm] eindimensional ist, ist $n=1$ in der Aufgabenstellung.
Danke und Gruß
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hi,
> Betrachte für ein eindimensionales beschränktes Gebiet
> [mm]\Omega=]a,b[[/mm] (mit [mm]a,b\in\IR[/mm]) den Laplace-Operator
>
> [mm]A:=-\triangle:L^2(\Omega)\supset D(A)=H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)\longrightarrow R(A)=L^2(\Omega)\quad\text{mit}\quad u(x)\longmapsto\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}u(x)[/mm]
>
> Bestimme die zugehörigen Eigenfunktionen und Eigenwerte von
> [mm]A[/mm].
> Hallo an alle,
>
> könnte mir jemand bei diesem Problem behilflich sein? Mir
> ist irgendwie nicht klar, wie ich die Eigenfunktionen und
> Eigenwerte bestimmen kann.
> Da [mm]\Omega[/mm] eindimensional ist, ist [mm]n=1[/mm] in der
> Aufgabenstellung.
naja, du musst halt die ODE
[mm] $-u''=\lambda [/mm] u$
auf [a,b] loesen und zwar mit 0-randwerten $u(a)=u(b)=0$. Die loesungen sind eigentlich einigermassen klar...
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
> hi,
Hi,
>
> naja, du musst halt die ODE
>
> [mm]-u''=\lambda u[/mm]
>
> auf [a,b] loesen und zwar mit 0-randwerten [mm]u(a)=u(b)=0[/mm].
Okay. Soweit habe ich das verstanden.
> Die loesungen sind eigentlich einigermassen klar...
Mir nicht wirklich. Könntest Du sie mir kurz aufschreiben?
> gruss
> matthias
>
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> > hi,
>
> Hi,
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> >
> > naja, du musst halt die ODE
> >
> > [mm]-u''=\lambda u[/mm]
> >
> > auf [a,b] loesen und zwar mit 0-randwerten [mm]u(a)=u(b)=0[/mm].
>
> Okay. Soweit habe ich das verstanden.
>
> > Die loesungen sind eigentlich einigermassen klar...
>
> Mir nicht wirklich. Könntest Du sie mir kurz aufschreiben?
>
haha, nein, das musst du schon selber herausknobeln. stell dir mal den einfachen fall [mm] [a,b]=[0,\pi] [/mm] vor. und suche dann die loesungen im umfeld von sinus und kosinus...
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Do 15.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
> haha, nein, das musst du schon selber herausknobeln. stell
> dir mal den einfachen fall [mm][a,b]=[0,\pi][/mm] vor. und suche
> dann die loesungen im umfeld von sinus und kosinus...
>
> gruss
> matthias
Da Du mir ungerne ohne weiteres helfen möchtest und erst einen Lösungsansatz von mir verlangst, demonstriere ich es Dir am obigen Fall für das Gebiet [mm] $\Omega=[0,\pi]$. [/mm]
Problemlösung
Der Ansatz dabei erfolgt durch
[mm] $\varphi^{(k)}(x)\,:=\,\sin(k\cdot x)\quad\text{mit}\quad k\in\IN$
[/mm]
Dabei erfüllt [mm] $\varphi^{(k)}$ [/mm] für jedes [mm] $k\in\IN$ [/mm] die Dirichlet Nullrandbedingung, d.h.
[mm] $\varphi^{k}(0)\,=\,\sin(k\cdot 0)\,=\,0\quad\forall\,k\in\IN$
[/mm]
[mm] $\varphi^{k}(\pi)\,=\,\sin(k\cdot\pi)\,=\,0\quad\forall\,k\in\IN$
[/mm]
Diese [mm] $\varphi^{(k)}$ [/mm] lösen zudem das Eigenwertproblem (die Helmholtz-Gleichung)
[mm] $A\varphi^{(k)}\,=\,\lambda^{(k)}\varphi^{(k)}\quad\forall\,k\in\IN$
[/mm]
wobei [mm] $\lambda^{(k)}\,=\,k^2$ [/mm] für [mm] $k\in\IN$ [/mm] ist, denn
[mm] $A\varphi^{(k)}(x)\,=\,-\frac{d^2}{dx^2}\sin(kx)\,=\,-\frac{d}{dx}k\cos(kx)\,=\,-k^2\cdot (-\sin(kx))\,=\,k^2\sin(kx)\,=\,\lambda^{(k)}\varphi^{(k)}(x)$
[/mm]
Ich hoffe, dass ich Dich sowei überzeugt habe.
Rückfrage
Wenn mein Gebiet [mm] $\Omega=[a,b]$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] ist, wie muss ich dann den Ansatz wählen, damit die Dirichlet-Nullrandbedingung erfüllt ist? Genauer: Wie muss ich das Argument vom Sinus wählen damit die Bedingung
[mm] $\varphi^{(k)}(a)\,=\,\varphi^{(k)}(b)\,=\,0$
[/mm]
erfüllt ist?
Falls $a=0$ und $b$ eine ganze Zahl ist, so eignet sich beispielsweise [mm] $\varphi^{(k)}(x)\,=\,\sin(k\pi [/mm] x)$. Wenn $b$ (oder $a$) hierbei jedoch irgendeine reelle Zahl ist geht dieser Ansatz nicht mehr.
Bitte um hilfreichen Ansatz.
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> > haha, nein, das musst du schon selber herausknobeln. stell
> > dir mal den einfachen fall [mm][a,b]=[0,\pi][/mm] vor. und suche
> > dann die loesungen im umfeld von sinus und kosinus...
> >
> > gruss
> > matthias
>
> Da Du mir ungerne ohne weiteres helfen möchtest und erst
> einen Lösungsansatz von mir verlangst,
das ist mein gutes recht, oder?
> demonstriere ich es
> Dir am obigen Fall für das Gebiet [mm]\Omega=[0,\pi][/mm].
>
> Problemlösung
> Der Ansatz dabei erfolgt durch
>
> [mm]\varphi^{(k)}(x)\,:=\,\sin(k\cdot x)\quad\text{mit}\quad k\in\IN[/mm]
>
> Dabei erfüllt [mm]\varphi^{(k)}[/mm] für jedes [mm]k\in\IN[/mm] die Dirichlet
> Nullrandbedingung, d.h.
>
> [mm]\varphi^{k}(0)\,=\,\sin(k\cdot 0)\,=\,0\quad\forall\,k\in\IN[/mm]
>
> [mm]\varphi^{k}(\pi)\,=\,\sin(k\cdot\pi)\,=\,0\quad\forall\,k\in\IN[/mm]
>
> Diese [mm]\varphi^{(k)}[/mm] lösen zudem das Eigenwertproblem (die
> Helmholtz-Gleichung)
>
> [mm]A\varphi^{(k)}\,=\,\lambda^{(k)}\varphi^{(k)}\quad\forall\,k\in\IN[/mm]
>
> wobei [mm]\lambda^{(k)}\,=\,k^2[/mm] für [mm]k\in\IN[/mm] ist, denn
>
> [mm]A\varphi^{(k)}(x)\,=\,-\frac{d^2}{dx^2}\sin(kx)\,=\,-\frac{d}{dx}k\cos(kx)\,=\,-k^2\cdot (-\sin(kx))\,=\,k^2\sin(kx)\,=\,\lambda^{(k)}\varphi^{(k)}(x)[/mm]
>
> Ich hoffe, dass ich Dich sowei überzeugt habe.
>
sehr.
> Rückfrage
> Wenn mein Gebiet [mm]\Omega=[a,b][/mm] mit [mm]a,b\in\IR[/mm] ist, wie muss
> ich dann den Ansatz wählen, damit die
> Dirichlet-Nullrandbedingung erfüllt ist? Genauer: Wie muss
> ich das Argument vom Sinus wählen damit die Bedingung
>
> [mm]\varphi^{(k)}(a)\,=\,\varphi^{(k)}(b)\,=\,0[/mm]
>
> erfüllt ist?
> Falls [mm]a=0[/mm] und [mm]b[/mm] eine ganze Zahl ist, so eignet sich
> beispielsweise [mm]\varphi^{(k)}(x)\,=\,\sin(k\pi x)[/mm]. Wenn [mm]b[/mm]
> (oder [mm]a[/mm]) hierbei jedoch irgendeine reelle Zahl ist geht
> dieser Ansatz nicht mehr.
also eigentlich musst da dafuer nicht allzuviel abstrahieren. ich zeige dir mal den naechsten schritt. Sei [mm] \Omega=[a,\pi+a]. [/mm] Dann musst du doch nur die loesungen verschieben, also
[mm] $\phi_k(x)=\sin(k(x-a))$.
[/mm]
Oder?
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
> also eigentlich musst da dafuer nicht allzuviel
> abstrahieren. ich zeige dir mal den naechsten schritt. Sei
> [mm]\Omega=[a,\pi+a].[/mm] Dann musst du doch nur die loesungen
> verschieben, also
>
> [mm]\phi_k(x)=\sin(k(x-a))[/mm].
>
> Oder?
>
> gruss
> matthias
Das sehe ich auch so. (Hierbei ist wieder die Dirichlet-Nullrandbedingung erfüllt. Die Eigenwerte bleiben dieselben und die Eigenfunktionen sind bis auf Verschiebung identisch.) Ich vermute, dass wir die Lösungen im nächsten Schritt strecken (bzw. stauchen) müssen. Damit hat unser Intervall jedoch nicht mehr die Länge [mm] $\pi$, [/mm] wodurch das [mm] $\pi$ [/mm] in den Sinus verlagert werden müsste. Könntest Du mir an dieser Stelle noch einmal behilflich sein?
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
Ich denke ich habe es. Und zwar sind die Eigenfunktionen [mm] $\varphi_k$ [/mm] der Helmholtz-Gleichung für ein eindimensionales reelles beschränktes Gebiet [mm] $\Omega=[a,b]$ [/mm] mit $a<b$ gegeben durch
[mm] $\varphi_k(x)\,=\,\sin(k\cdot\pi\cdot\frac{1}{b-a}\cdot(x-a))$
[/mm]
und folglich sind die Eigenwerte durch
[mm] $\lambda_k\,=\,\frac{k^2\cdot\pi^2}{(b-a)^2}$
[/mm]
gegeben. Ist das soweit richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:57 Sa 17.05.2008 | | Autor: | MatthiasKr |
> Ich denke ich habe es. Und zwar sind die Eigenfunktionen
> [mm]\varphi_k[/mm] der Helmholtz-Gleichung für ein eindimensionales
> reelles beschränktes Gebiet [mm]\Omega=[a,b][/mm] mit [mm]a
> durch
>
> [mm]\varphi_k(x)\,=\,\sin(k\cdot\pi\cdot\frac{1}{b-a}\cdot(x-a))[/mm]
>
> und folglich sind die Eigenwerte durch
>
> [mm]\lambda_k\,=\,\frac{k^2\cdot\pi^2}{(b-a)^2}[/mm]
>
> gegeben. Ist das soweit richtig?
ich denke ja.
gruss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
VIELEN DANKE NOCHMALS!
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