Eigenschaft Nullstellen K[X,Y] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
um ein Beispiel aus der algebraischen Geometrie nachzuvollziehen, suche ich einen Beweis für folgende Aussage:
Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, [mm] $f\in [/mm] K[X,Y]$ ein irreduzibles Polynom in zwei Variablen, [mm] $(\alpha,\beta)\in K^2$ [/mm] eine Nullstelle von f.
Dann gibt es Polynome [mm] $g,h\in [/mm] K[X,Y]$ mit [mm] $f=g(X-\alpha)+h(Y-\beta)$.
[/mm]
Ich habe leider keinen Ansatz, wie ich g und h konstruieren könnte.
Hat jemand eine Idee? Vielen Dank im Voraus!
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe leider keinen Ansatz, wie ich g und h konstruieren
> könnte.
>
> Hat jemand eine Idee? Vielen Dank im Voraus!
Mir fiel da ein, zweimal Teilen mit Rest erst in [m](K[X])[Y][/m], dann in [m](K[Y])[X][/m] mit dem Rest. Vielleicht in Kombination mit Induktion über den Grad des Polynoms (Summe der Koeff. von X und Y). Ich glaube, das müsste durchgehn. Wobei man alg. abgeschlossen braucht, seh ich nicht. Vielleicht lieg ich ja auch falsch.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Eckhard,
danke für deine Idee! Habe damit einen Beweis gefunden!
Wir dividieren f in $(K[X])[Y]$ durch [mm] $(Y-\beta)$ [/mm] (geht, da höchster Koeffizient 1 und somit Einheit in $K[X]$): Wir erhalten [mm] $h,r\in [/mm] (K[X])[Y]$ mit [mm] $f=h(Y-\beta)+r$ [/mm] und [mm] $\operatorname{grad}r<\operatorname{grad}(Y-\beta)=1$, [/mm] also [mm] $r\in [/mm] K[X]$.
Weiter dividieren wir r in $K[X]$ durch [mm] $(X-\alpha)$: [/mm] Wir erhalten [mm] $g,a\in [/mm] K[X]$ mit [mm] $r=g(X-\alpha)+a$ [/mm] und [mm] $\operatorname{grad}a<\operatorname{grad}(X-\alpha)=1$, [/mm] also [mm] $a\in [/mm] K$.
Nun gilt [mm] $0=f(\alpha,\beta)=r(\alpha,\beta)=a$. [/mm] Also erhalten wir [mm] $f=h(Y-\beta)+r=h(Y-\beta)+g(X-\alpha)+a=g(X-\alpha)+h(Y-\beta)$.
[/mm]
Dass f irreduzibel und K algebraisch abgeschlossen ist, braucht man tatsächlich nirgendwo.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Sa 20.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> danke für deine Idee! Habe damit einen Beweis gefunden!
>
> Wir dividieren f in [mm](K[X])[Y][/mm] durch [mm](Y-\beta)[/mm] (geht, da
> höchster Koeffizient 1 und somit Einheit in [mm]K[X][/mm]): Wir
> erhalten [mm]h,r\in (K[X])[Y][/mm] mit [mm]f=h(Y-\beta)+r[/mm] und
> [mm]\operatorname{grad}r<\operatorname{grad}(Y-\beta)=1[/mm], also
> [mm]r\in K[X][/mm].
> Weiter dividieren wir r in [mm]K[X][/mm] durch
> [mm](X-\alpha)[/mm]: Wir erhalten [mm]g,a\in K[X][/mm] mit [mm]r=g(X-\alpha)+a[/mm]
> und [mm]\operatorname{grad}a<\operatorname{grad}(X-\alpha)=1[/mm],
> also [mm]a\in K[/mm].
> Nun gilt [mm]0=f(\alpha,\beta)=r(\alpha,\beta)=a[/mm].
> Also erhalten wir
> [mm]f=h(Y-\beta)+r=h(Y-\beta)+g(X-\alpha)+a=g(X-\alpha)+h(Y-\beta)[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dass f irreduzibel und K algebraisch abgeschlossen ist,
> braucht man tatsächlich nirgendwo.
Genau. Das sind nur so Voraussetzungen, die man macht, damit man vernuenftig Geometrie machen kann :) Fuer die Aussage, dass man $f$ so schreiben kann, wuerde es voellig ausreichen, wenn $K$ irgendein kommutativer Ring mit 1 ist.
Das irreduzibel sorgt dafuer, dass die Kurve nicht mehrere Komponenten hat (also die Vereinigung von verschiedenen Kurven ist) (daraus folgt, dass $f$ hoechstens einen Primfaktor hat) und dass der Koordinatenring $K[X, Y] / (f)$ keine nilpotenten Elemente hat (daraus folgt, dass $f$ quadratfrei ist).
Und $K$ haette man gerne algebraisch abgeschlossen damit man auch "alle" Punkte auf der Kurve finden kann, und nicht nur ein paar oder sogar garkeine. Ueber $K$ ist [mm] $\{ (x, y) \mid f(x, y) = 0 \}$ [/mm] dann auch das was man sich bildlich unter einer Kurve vorstellt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Felix,
danke für deine Mühe!
Aus dem Kontext, dem ich die nun bewiesene Aussage entnommen habe, geht hervor, warum sie dort nur für f irreduzibel und K algebraisch abgeschlossen benötigt wird. Eine weitere Frage in diesem Zusammenhang (die aber wieder algebraischer und nicht geometrischer Natur ist) folgt noch.
> Das irreduzibel sorgt dafuer, dass die Kurve nicht mehrere
> Komponenten hat (also die Vereinigung von verschiedenen
> Kurven ist) (daraus folgt, dass [mm]f[/mm] hoechstens einen
> Primfaktor hat) und dass der Koordinatenring [mm]K[X, Y] / (f)[/mm]
> keine nilpotenten Elemente hat (daraus folgt, dass [mm]f[/mm]
> quadratfrei ist).
Den Begriff Kurve hatten wir (noch?) gar nicht. Auch die Begriffe Koordinatenring und quadratfrei sehe ich zum ersten Mal. Dass $K[X,Y]/(f)$ für f irreduzibel keine nilpotenten Elemente hat, ist mir klar (es liegt ja sogar ein Integritätsring vor).
> Und [mm]K[/mm] haette man gerne algebraisch abgeschlossen damit man
> auch "alle" Punkte auf der Kurve finden kann, und nicht nur
> ein paar oder sogar garkeine. Ueber [mm]K[/mm] ist [mm]\{ (x, y) \mid f(x, y) = 0 \}[/mm]
> dann auch das was man sich bildlich unter einer Kurve
> vorstellt.
Diese Vorstellung könnte noch hilfreich für mich sein!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Den Begriff Kurve hatten wir (noch?) gar nicht. Auch die
> Begriffe Koordinatenring und quadratfrei sehe ich zum
> ersten Mal. Dass [mm]K[X,Y]/(f)[/mm] für f irreduzibel keine
> nilpotenten Elemente hat, ist mir klar (es liegt ja sogar
> ein Integritätsring vor).
![[]](/images/popup.gif) Eine Kurve im Sinne der algebraischen Geometrie, also eine ein-dimensionale Varietät. Das einfachste Beispiel ist [m]x^2+y^2-1[/m], dessen Nullstellenmenge ja offensichtlich ein Kreis (über den rellen Zahlen) ist, und somit eine Manigfaltigkeit. Und das war mein Wissen über algebraische Geometrie auch schon - Nullstellenmenge von Polynomen quasi als Manigfaltigkeiten betrachten.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Eine Kurve
> im Sinne der algebraischen Geometrie, also eine
> ein-dimensionale Varietät. Das einfachste Beispiel ist
> [m]x^2+y^2-1[/m], dessen Nullstellenmenge ja offensichtlich ein
> Kreis (über den rellen Zahlen) ist, und somit eine
> Manigfaltigkeit. Und das war mein Wissen über algebraische
> Geometrie auch schon - Nullstellenmenge von Polynomen quasi
> als Manigfaltigkeiten betrachten.
Der Begriffsapparat, mit dem heutzutage algebraische Geometrie betrieben wird, lässt für mich als Anfänger solche geometrische Bedeutungen übrigens sehr in den Hintergrund treten. Wenn ich mal etwas besser im Abstrakten drin bin, wird sicherlich auch mal Gelegenheit sein, mich mit den geometrischen Vorstellungen dahinter auseinanderzusetzen...
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