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| Aufgabe | EIgenschaft von [mm] \IR
[/mm]
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] existiert n [mm] \in \IN [/mm] so dass x [mm] \le [/mm] n
Beweise indirket. |
Wenn dass nicht der Fall ist, dann [mm] \exists [/mm] x so dass es kein n [mm] \in \IN [/mm] mit x [mm] \le [/mm] n gibt.
dann [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt n< x.
Dass bedeutet x ist eine obere Schranke für [mm] \IN.
[/mm]
Weiter komme ich nicht wirklich.
Hinweis war dass man eine andere Reele Zahl hernimmt, die das supremum von N ist. Und dann zeigt dass a-1 nicht obere Schranke für N sein kann. Und da ein wiederspruch rauskommt.
[mm] \exists [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] so dass a = sup [mm] \IN
[/mm]
aber wieso??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> EIgenschaft von [mm]\IR[/mm]
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm] existiert n [mm]\in \IN[/mm] so dass x [mm]\le[/mm] n
> Beweise indirket.
> Wenn dass nicht der Fall ist, dann [mm]\exists[/mm] x so dass es
> kein n [mm]\in \IN[/mm] mit x [mm]\le[/mm] n gibt.
> dann [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] gilt n< x.
>
> Dass bedeutet x ist eine obere Schranke für [mm]\IN.[/mm]
>
> Weiter komme ich nicht wirklich.
Das liegt wohl daran, dass du schon fertig bist. xD
Ist x eine obere Schranke von [mm] $\IN$ [/mm] dann heißt das die natürlichen Zahlen sind nach oben beschränkt.
Das heißt dann also auch, dass es eine größte natürliche Zahl gibt...
Und ihr habt sicher in der Vorlesung gehört, dass die natürlichen Zahlen nicht nach oben beschränkt sind; sonst könntest du mir doch sicher die größte natürliche Zahl nennen. ;)
lg
Schadow
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Achso.
Wenn [mm] \IN [/mm] nach oben beschränkt ist, dann hat es ein Supremum wegen der Ordnungsvollständigkeit oder?
Definiere ich jetzt als a.
a = sup [mm] \IN
[/mm]
Wenn a die oberste Schranke von [mm] \IN [/mm] ist dann
a - n < a da n>0 und a-n ist keine obere schranke
wo ist jetzt der widerspruch?
wenn ich a - 1 einsetze ?
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Der Widerspruch ist eben, dass [mm] $\IN$ [/mm] nicht nach oben beschränkt ist.
Blätter mal in deinem Skript, da steht sicher irgendwo, dass [mm] $\IN$ [/mm] nicht nach oben beschränkt ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Mi 19.10.2011 | | Autor: | theresetom |
Das ist mir schon klar!
Danke
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 10:35 Do 20.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Schadowmaster,
> Ist x eine obere Schranke von [mm]\IN[/mm] dann heißt das die
> natürlichen Zahlen sind nach oben beschränkt.
...durch eine reelle Zahl x (die keine natürliche Zahl sein muss).
> Das heißt dann also auch, dass es eine größte
> natürliche Zahl gibt...
Nein, dieser Schluss ist so nicht möglich.
Tatsächlich gibt es einen (nicht vollständigen) angeordneten Körper $R$, so dass die Menge [mm] $N:=\{n*1_R|n\in\IN\}$ [/mm] eine obere Schranke [mm] $x\in [/mm] R$ besitzt, ohne dass die Menge $N$ ein größtes Element besitzt.
Die Vollständigkeit von [mm] $\IR$ [/mm] muss man also irgendwo ins Spiel bringen. Wie das geht, hat Fred schon ausgeführt.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:25 Do 20.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Angenommen, [mm] \IN [/mm] wäre nach oben beschränkt. Dann ex. a:= sup [mm] \IN. [/mm] Dann ist a-1 <a und somit ist a-1 keine obere Schranke von [mm] \IN. [/mm] Daher gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit: n>a-1.
Es folgt: n+1>a. Das ist aber ein Widerspruch, denn n+1 [mm] \in \IN [/mm] und somit n+1 [mm] \le [/mm] a.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Do 20.10.2011 | | Autor: | theresetom |
Dankeschön!
Auch dir Fred, dass war genau - was ich wissen wollte!
***Liebe Grüße
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