Eigenschaften \delta < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:52 Fr 09.03.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] Körper, n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \delta: M_{n \times n} [/mm] -> [mm] \IK [/mm] eine Funktion, die folgende beiden Eigenschaften besitzt:
[mm] \delta [/mm] ist multilinear
Sind zwei benachbarte Spalten von A gleich, so gilt [mm] \delta(A)=0
[/mm]
ZZ:
Für jedes j [mm] \in [/mm] {1,..n} und jede Matrix A gilt
[mm] \delta(A)= \sum_{i=1}^n \delta(A_{(ij)})
[/mm]
Dabei bezeichnet [mm] A_{(ij)} [/mm] jene (n [mm] \times [/mm] n) Matrix, die wir aus A erhalten wenn wir jeden Eintrag der i-ten Zeile und j-ten SPalte, außer [mm] A_{ij}, [/mm] durch 0 ersetzten. |
Übrigens die folgenden Eigenschaften haben wir schon in der Vorlesung gezeigt:
Beim Vertauschen zweier Spalten von [mm] \delta(A) [/mm] wechselt Vorzeichen
Sind zwei SPalten von A gleich gilt [mm] \delta(A)=0
[/mm]
Addieren wir ein Vielfaches einer Spalte von A zu einer anderen SPalte, dann bleibt [mm] \delta(A) [/mm] unverändert.
Ist rank(A) <n dann gilt [mm] \delta(A)=0
[/mm]
Im Skript steht dazu folgendes:
Für die j-te Spalte von A gilt [mm] a_j =\sum_{i=1}^n A_{ij} e_i [/mm] wobei [mm] A_{ij} [/mm] den Eintrag der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A bezeichnet.
Es folgt:
[mm] \delta(A)=\sum_{i=1}^n \delta(a_1|....|a_{j-1}|A_{ij}e_i|a_{j+1}|...|a_n) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \delta (A_{(ij)})
[/mm]
denn es gilt: [mm] \delta(a_1|....|a_{j-1}|A_{ij}e_i|a_{j+1}|...|a_n) [/mm] = [mm] \delta (A_{(ij)})
[/mm]
Ich hab da zwei Fragen dazu:
> Für die j-te Spalte von A gilt [mm] a_j =\sum_{i=1}^n A_{ij} e_i [/mm] wobei ...
Gilt das für jede beliebige Matrix, dass man die j-te Spalte so schreiben kann als Vielfaches von den [mm] A_{ij}- [/mm] EIntrag? Eigentlich schon oder?
> denn es gilt: (*) [mm] \delta(a_1|....|a_{j-1}|A_{ij}e_i|a_{j+1}|...|a_n) [/mm] = [mm] \delta (A_{(ij)})
[/mm]
Wenn [mm] A_{ij}=0 [/mm] ist, dann verschwindet die gesamte j-te Spalte von beiden Seiten (*). Kann ich dann argumentieren, da die 0-Spalte linear abhängig von jeder Spalte ist ist [mm] \delta(a_1|....|a_{j-1}|A_{ij}e_i|a_{j+1}|...|a_n) [/mm] sowie [mm] \delta (A_{(ij)}) [/mm] gleich 0?
Oder muss man da mit Linearität das begründen aber wie? (Ich weiß, dass lineare Abbildungen 0 auf 0 abbilden, aber nicht wie ich das hier anwende.)
Ist [mm] A_{ij}\not=0 [/mm] weiß ich nicht ganz weiter! Ich denke Spaltenumformungen haben was damit zu tun, aber weiß nicht ganz weiter.
Danke, lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 11.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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