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| Aufgabe | A1.) Sei K ein Körper, $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $A = [mm] (a_{ij}), [/mm] B = [mm] (b_{ij}) \in K^{n \times n}$ [/mm] mit [mm]1 \le i,j \le n[/mm] und [mm] $b_{ij} [/mm] = [mm] (-1)^{i+j}a_{ij}$.
[/mm]
a.) Zeigen Sie [mm] $\det(A) [/mm] = [mm] \det(B)$
[/mm]
b.) Sei außerdem $m [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $A_1 \in K^{n \times n}, A_2 \in K^{n \times m}, A_3 \in K^{m \times m}$. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] $\det\pmat{A_1 & A_2 \\ 0 & A_3} [/mm] = [mm] \det(A_1)\det(A_3)$ [/mm] |
Hallo zusammen,
habe Fragen zur obigen Aufgaben und werde euch zunächst meine Ansätze erläutern.
zu a.)
Mein erster Einfall war eventuell eine Ähnlichkeit zwischen $A$ und $B$ zu formulieren, also mit $P [mm] \in GL_n(K)$ [/mm] und $B = [mm] PAP^{-1}$, [/mm] aber dieser Ansatz führt irgendwie nirgends hin.
Nächster Ansatz war die Multilinearität der Det auszunutzen, aber da ich die (-1) in jeweils anderen Zeilen und Spalten habe, ist dieser Ansatz völlig unnütz.
Also einfach den allgemeinen Determinantenansatz gewählt, sprich:
[mm] $\det(A) [/mm] = [mm] \sum\limits_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \sigma(i)}$ [/mm] bzw.
[mm] $\det(B) [/mm] = [mm] \sum\limits_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} (-1)^{i + \sigma(i)}a_{i, \sigma(i)}$
[/mm]
Jetzt müsste ich im Grunde nur zeigen, dass die Anzahl der Minus-Zeichen eine gerade Zahl ist, da so die (-1) in der Formel verschwindet, also sprich [mm] $(-1)^{i + \sigma(i)} \in 2\IN$, [/mm] aber wie könnte ich das anstellen?
zu b.)
Wenn ich den Laplace'schen Entwicklungssatz anwenden könnte, wäre diese Aufgabe trivial, aber das darf ich natürlich nicht :)
Ansonsten habe ich hier keinen Ansatz :(
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Grüße
Joe
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moin,
> A1.) Sei K ein Körper, [mm]n \in \IN[/mm] und [mm]A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) \in K^{n \times n}[/mm]
> mit [mm]1 \le i,j \le n[/mm] und [mm]b_%25257Bij%25257D%252520%25253D%252520(-1)%25255E%25257Bi%25252Bj%25257Da_%25257Bij%25257D[/mm].
>
> a.) Zeigen Sie [mm]\det(A) = \det(B)[/mm]
> b.) Sei außerdem [mm]m \in \IN[/mm]
> und [mm]A_1 \in K^{n \times n}, A_2 \in K^{n \times m}, A_3 \in K^{m \times m}[/mm].
> Zeigen Sie:
> [mm]\det\pmat{A_1 & A_2 \\ 0 & A_3} = \det(A_1)\det(A_3)[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> habe Fragen zur obigen Aufgaben und werde euch zunächst
> meine Ansätze erläutern.
>
> zu a.)
> Mein erster Einfall war eventuell eine Ähnlichkeit
> zwischen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] zu formulieren, also mit [mm]P \in GL_n(K)[/mm] und
> [mm]B = PAP^{-1}[/mm], aber dieser Ansatz führt irgendwie nirgends
> hin.
>
> Nächster Ansatz war die Multilinearität der Det
> auszunutzen, aber da ich die (-1) in jeweils anderen Zeilen
> und Spalten habe, ist dieser Ansatz völlig unnütz.
>
> Also einfach den allgemeinen Determinantenansatz gewählt,
> sprich:
>
> [mm]\det(A) = \sum\limits_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \sigma(i)}[/mm]
> bzw.
> [mm]\det(B) = \sum\limits_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} (-1)^{i + \sigma(i)}a_{i, \sigma(i)}[/mm]
[mm]\ldots= \sum\limits_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} (-1)^{i + \sigma(i)}\cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \sigma(i)}[/mm]
Aus dem ersten Produktzeichen kann man eine Summe machen. Und dann gabs da einen Bub, der ganz schnell von 1 bis 100 addieren konnte.
>
> Jetzt müsste ich im Grunde nur zeigen, dass die Anzahl der
> Minus-Zeichen eine gerade Zahl ist, da so die (-1) in der
> Formel verschwindet, also sprich [mm](-1)^{i + \sigma(i)} \in 2\IN[/mm],
> aber wie könnte ich das anstellen?
>
> zu b.)
> Wenn ich den Laplace'schen Entwicklungssatz anwenden
> könnte, wäre diese Aufgabe trivial, aber das darf ich
> natürlich nicht :)
>
> Ansonsten habe ich hier keinen Ansatz :(
Man kann das mit Induktion in der Blockgröße erschlagen.
Schöner ist:
Zeige:
1) [mm]\det\pmat{A&\star\\&E}=det(A)[/mm] und analog [mm]\det\pmat{E&\star\\&D}=det(D)[/mm]
2) B lässt sich als [mm]AX+YD[/mm] schreiben
Endspiel
[mm]\det\pmat{A&B\\0&D}=\det\pmat{A&AX+YD\\0&D}=\det(?)\cdot\det(?)[/mm]
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> Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
>
> Grüße
> Joe
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Hallo wieschoo,
danke für deine Antwort.
Also wie ich jetzt genau aus dem Term $ [mm] \prod\limits_{i = 1}^{n} (-1)^{i + \sigma(i)}$ [/mm] eine Summe gewinnen soll ist mir noch unklar. Irgendwie denke ich gerade, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe :)
Dein Tipp mit dem kleinen Gauß kann ich daher noch nicht anwenden :(.
zu b.)
$ [mm] \det\pmat{A&\star\\&E}=det(A) [/mm] $ Ich darf aufgrund der Multilinearität der Determinantenfunktionen immer die 1'en aus der Einheitsmatrix vor die Determinate schreiben bis die Einheitsmatrix aus der Blockmatrix verschwindet und somit nur [mm] $\det(A)$ [/mm] übrigbleibt - der Stern interferiert ja nicht oder?
$ [mm] \det\pmat{E&\star\\&D}=det(D) [/mm] $. Analoge Argumentation wie oben einfach die 1'en der Einheitsmatrix aufgrund Multilinearität herausziehen.
Warum sich jedoch "B als AX+YD schreiben lässt" kann ich noch nicht nachvollziehen, meine Idee wäre ja, dass man B durch elementare Zeilenumformungen wieder gewinnen kann, aber dass entspricht ja nicht der Addition von den Matrizen.
Grüße
Joe
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> Hallo wieschoo,
>
> danke für deine Antwort.
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> Also wie ich jetzt genau aus dem Term [mm]\prod\limits_{i = 1}^{n} (-1)^{i + \sigma(i)}[/mm]
> eine Summe gewinnen soll ist mir noch unklar. Irgendwie
> denke ich gerade, dass ich den Wald vor lauter Bäumen
> nicht sehe :)
Dann sägen wir mal ein paar Bäume ab: [mm]a^na^m=a^{n+m}[/mm].
> Dein Tipp mit dem kleinen Gauß kann ich daher noch nicht
> anwenden :(.
>
> zu b.)
>
> [mm]\det\pmat{A&\star\\&E}=det(A)[/mm] Ich darf aufgrund der
> Multilinearität der Determinantenfunktionen immer die 1'en
> aus der Einheitsmatrix vor die Determinate schreiben bis
> die Einheitsmatrix aus der Blockmatrix verschwindet und
> somit nur [mm]\det(A)[/mm] übrigbleibt - der Stern interferiert ja
> nicht oder?
>
> [mm]\det\pmat{E&\star\\&D}=det(D) [/mm]. Analoge Argumentation wie
> oben einfach die 1'en der Einheitsmatrix aufgrund
> Multilinearität herausziehen.
>
> Warum sich jedoch "B als AX+YD schreiben lässt" kann ich
> noch nicht nachvollziehen, meine Idee wäre ja, dass man B
> durch elementare Zeilenumformungen wieder gewinnen kann,
> aber dass entspricht ja nicht der Addition von den
> Matrizen.
Der Gedanke ist zu kompliziert. Die Matrizen [mm]X=(x_{ij})[/mm] und [mm]Y=(y_{ij})[/mm] sind Ansammlungen von Variablen bestehend aus lauter Unbestimmten. Des Weiteren sind [mm]A=(A_{st}),B=(b_{st}),D=(d_{st})[/mm] Matrizen bestehend aus Zahlen. [mm]AX+YD=B[/mm] ist einfach nur ein lineares Gleichungssystem mit [mm]n\cdot m[/mm] Gleichungen und [mm]n\cdot m + m\cdot n[/mm] Variablen....
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> Grüße
> Joe
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Hallo wieschoo,
ok also das Potenzgesetz ist mir schon aufgefallen, aber ich sehe immernoch nicht wie das mich zu einer Summe bringen sollte, zwar lassen sich generell Potenzen als Summen aufschreiben z.B. [mm] $2^3 [/mm] = ((2+2)+(2+2))+((2+2)+(2+2))$ durch "Verdopplung der Summenterme", aber bei (-1) habe ich so meine Probleme hier eine Überleitung zu sehen.
zu b.)
Also stellen wir jetzt $B = AX + YD$ dar durch ein LGS dar, wobei X und Y aus Variablen bestehen - OK hatte so etwas noch nie gesehen, verstehe daher den Schritt nicht so ganz. Aber in Ordnung es führt zur Endmatrix, aber warum gilt nun der Schlussschritt und schlussendlich die Gleichung wie zu zeigen ist?
EDIT: Habe jetzt mal den Bosch konsultiert - genauer gesagt das Kapitel gelesen und auf Seite 147/148 steht genau der Beweis zur Aufgabe b.) :)
Grüße
Joe
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> Hallo wieschoo,
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> ok also das Potenzgesetz ist mir schon aufgefallen, aber
> ich sehe immernoch nicht wie das mich zu einer Summe
> bringen sollte, zwar lassen sich generell Potenzen als
> Summen aufschreiben z.B. [mm]2^3 = ((2+2)+(2+2))+((2+2)+(2+2))[/mm]
> durch "Verdopplung der Summenterme", aber bei (-1) habe ich
> so meine Probleme hier eine Überleitung zu sehen.
[mm] \ldots= \sum\limits_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} (-1)^{i + \sigma(i)}\cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \sigma(i)} [/mm]
[mm] \ldots= \sum\limits_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot (-1)^{\sum_{i=1}^ni + \sigma(i)}\cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \sigma(i)} [/mm]
Doch was ist [mm]\sum_{i=1}^ni + \sigma(i) = \sum_{i=1}^ni + \sum_{i=1}^n\sigma(i)[/mm] ?
Du summierst zweimal die gleichen Terme in verschiedenen Reihenfolgen auf. Also [mm]2\cdot blubb[/mm] ist stets gerade. Wald gefunden?
> zu b.)
> Also stellen wir jetzt [mm]B = AX + YD[/mm] dar durch ein LGS dar,
> wobei X und Y aus Variablen bestehen - OK hatte so etwas
> noch nie gesehen, verstehe daher den Schritt nicht so ganz.
> Aber in Ordnung es führt zur Endmatrix, aber warum gilt
> nun der Schlussschritt und schlussendlich die Gleichung wie
> zu zeigen ist?
>
> EDIT: Habe jetzt mal den Bosch konsultiert - genauer gesagt
> das Kapitel gelesen und auf Seite 147/148 steht genau der
> Beweis zur Aufgabe b.) :)
steht ja nirgends, dass man selber drauf kommen soll 
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> Grüße
> Joe
>
Gruß
wieschoo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 So 05.05.2013 | | Autor: | JoeSunnex |
Hallo wieschoo,
danke für deine Ausführungen, mein Gott bin ich blind :) Ganz ehrlich auf den Ansatz mit den Exponenten einfach als Summe zu betrachten, was ja stimmt wäre ich nie gekommen. Na klar und dann wird durch den kleinen Gauß die Summe über $i$ nach [mm] $\bruch{i^2+i}{2}$ [/mm] zu einer geraden Zahl - analog dann bei [mm] $\sigma(i)$. [/mm] Meine Güte ich sollte in meinem Kopf Holz hacken gehen :D
Ja alleine darauf kommen, sollte man schon. Wenn man jedoch eine gute Lektüre zur Unterstützung hat, kann man diese doch nutzen :)
Grüße
Joe
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