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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mo 07.01.2013 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Gegeben seien die Matrizen [mm] X\in\IC^{p\times q},\; Y\in\IC^{q\times p},\; Z\in\IC^{n\times n}.
[/mm]
Zeigen Sie:
(a) [mm] \sigma(XY)\setminus\{0\} [/mm] = [mm] \sigma(YX)\setminus\{0\},
[/mm]
(b) [mm] \sigma(Z^2) [/mm] = [mm] \{\lambda^2 \mid \lambda\in\sigma(Z)\}. [/mm] |
Hallo.
Das Spektrum einer Matrix A ist die Menge aller Eigenwerte von A: [mm] \sigma(A) [/mm] = [mm] \{\lambda \mid \lambda\; \mbox{ist Eigenwert von A}\}.
[/mm]
(a)
Hier muss man die Gleichheit zweier Mengen zeigen, d.h. man muss zwei Inklusionen zeigen:
[mm] "\subseteq": [/mm] Sei [mm] \lambda\not=0 [/mm] ein Eigenwert von XY mit Eigenvektor x, d.h. [mm] $XYx=\lambda [/mm] x$. Setze [mm] y:=X^{-1}x, [/mm] dann ist [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von YX mit Eigenvektor y, denn es gilt
[mm] $YXy=YXX^{-1}x=Yx=X^{-1}XYx=X^{-1}\lambda x\overset{y=X^{-1}x\gdw x=Xy}{=}X^{-1}\lambda Xy=X^{-1}X\lambda y=\lambda [/mm] y$.
[mm] "\supseteq": [/mm] Geht analog, wenn man die Rollen von X und Y sowie x und y vertauscht.
Das sollte so passen.
(b)
Hier müsste man ja auch wieder zwei Inklusionen zeigen, aber reicht es nicht zu zeigen, dass, wenn [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von Z ist, dann auch [mm] \lambda^2 [/mm] ein Eigenwert von [mm] Z^2 [/mm] ist?
Beh.: [mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert von Z [mm] $\Rightarrow$ $\lambda^2$ [/mm] ist Eigenwert von [mm] Z^2.
[/mm]
Bew.: Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von Z mit Eigenvektor v, d.h. [mm] $Zv=\lambda [/mm] v$. Für [mm] Z^{2}v [/mm] gilt dann [mm] $Z^2v=(Z\cdot{Z})v=Z(Zv)=Z\lambda v=\lambda Zv=\lambda\cdot \lambda v=\lambda^2v$. $\Box$
[/mm]
gruß triad
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mo 07.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien die Matrizen [mm]X\in\IC^{p\times q},\; Y\in\IC^{q\times p},\; Z\in\IC^{n\times n}.[/mm]
>
> Zeigen Sie:
>
> (a) [mm]\sigma(XY)\setminus\{0\}[/mm] = [mm]\sigma(YX)\setminus\{0\},[/mm]
>
> (b) [mm]\sigma(Z^2)[/mm] = [mm]\{\lambda^2 \mid \lambda\in\sigma(Z)\}.[/mm]
>
> Hallo.
>
> Das Spektrum einer Matrix A ist die Menge aller Eigenwerte
> von A: [mm]\sigma(A)[/mm] = [mm]\{\lambda \mid \lambda\; \mbox{ist Eigenwert von A}\}.[/mm]
>
> (a)
>
> Hier muss man die Gleichheit zweier Mengen zeigen, d.h. man
> muss zwei Inklusionen zeigen:
>
> [mm]"\subseteq":[/mm] Sei [mm]\lambda\not=0[/mm] ein Eigenwert von XY mit
> Eigenvektor x, d.h. [mm]XYx=\lambda x[/mm]. Setze [mm]y:=X^{-1}x,[/mm] dann
> ist [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von YX mit Eigenvektor y, denn es
> gilt
>
> [mm]YXy=YXX^{-1}x=Yx=X^{-1}XYx=X^{-1}\lambda x\overset{y=X^{-1}x\gdw x=Xy}{=}X^{-1}\lambda Xy=X^{-1}X\lambda y=\lambda y[/mm].
>
> [mm]"\supseteq":[/mm] Geht analog, wenn man die Rollen von X und Y
> sowie x und y vertauscht.
>
> Das sollte so passen.
Nein. Es passt nicht !
Es ist doch $ [mm] X\in\IC^{p\times q} [/mm] $. Dabei darf auch p [mm] \ne [/mm] q sein .
Oben sprichst Du von der Inversen [mm] X^{-1} [/mm] von X. Das geht aber nur, wenn X eine quadratische Matrix ist.
Selbst wenn das der Fall wäre, muß X nicht invertierbar sein !
Also, auf ein Neues.
>
>
> (b)
>
> Hier müsste man ja auch wieder zwei Inklusionen zeigen,
> aber reicht es nicht zu zeigen, dass, wenn [mm]\lambda[/mm] ein
> Eigenwert von Z ist, dann auch [mm]\lambda^2[/mm] ein Eigenwert von
> [mm]Z^2[/mm] ist?
Warum sollte das reichen ????
>
> Beh.: [mm]\lambda[/mm] ist Eigenwert von Z [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\lambda^2[/mm] ist
> Eigenwert von [mm]Z^2.[/mm]
>
> Bew.: Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von Z mit Eigenvektor v,
> d.h. [mm]Zv=\lambda v[/mm]. Für [mm]Z^{2}v[/mm] gilt dann
> [mm]Z^2v=(Z\cdot{Z})v=Z(Zv)=Z\lambda v=\lambda Zv=\lambda\cdot \lambda v=\lambda^2v[/mm].
> [mm]\Box[/mm]
Das ist O.K.
Du mußt jetzt noch zeigen:
Ist [mm] \mu [/mm] ein Eigenwert von [mm] Z^2, [/mm] so gibt es einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von Z mit [mm] \mu=\lambda^2
[/mm]
FRED
>
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>
> gruß triad
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:17 Mo 07.01.2013 | | Autor: | triad |
> > Gegeben seien die Matrizen [mm]X\in\IC^{p\times q},\; Y\in\IC^{q\times p},\; Z\in\IC^{n\times n}.[/mm]
>
> >
> > Zeigen Sie:
> >
> > (a) [mm]\sigma(XY)\setminus\{0\}[/mm] = [mm]\sigma(YX)\setminus\{0\},[/mm]
> >
> > (b) [mm]\sigma(Z^2)[/mm] = [mm]\{\lambda^2 \mid \lambda\in\sigma(Z)\}.[/mm]
>
> >
> > Hallo.
> >
> > Das Spektrum einer Matrix A ist die Menge aller Eigenwerte
> > von A: [mm]\sigma(A)[/mm] = [mm]\{\lambda \mid \lambda\; \mbox{ist Eigenwert von A}\}.[/mm]
>
> >
> > (a)
> >
> > Hier muss man die Gleichheit zweier Mengen zeigen, d.h. man
> > muss zwei Inklusionen zeigen:
> >
> > [mm]"\subseteq":[/mm] Sei [mm]\lambda\not=0[/mm] ein Eigenwert von XY mit
> > Eigenvektor x, d.h. [mm]XYx=\lambda x[/mm]. Setze [mm]y:=X^{-1}x,[/mm] dann
> > ist [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von YX mit Eigenvektor y, denn es
> > gilt
> >
> > [mm]YXy=YXX^{-1}x=Yx=X^{-1}XYx=X^{-1}\lambda x\overset{y=X^{-1}x\gdw x=Xy}{=}X^{-1}\lambda Xy=X^{-1}X\lambda y=\lambda y[/mm].
>
> >
> > [mm]"\supseteq":[/mm] Geht analog, wenn man die Rollen von X und Y
> > sowie x und y vertauscht.
> >
> > Das sollte so passen.
>
> Nein. Es passt nicht!
>
> Es ist doch [mm]X\in\IC^{p\times q} [/mm]. Dabei darf auch p [mm]\ne[/mm] q
> sein.
>
> Oben sprichst Du von der Inversen [mm]X^{-1}[/mm] von X. Das geht
> aber nur, wenn X eine quadratische Matrix ist.
>
> Selbst wenn das der Fall wäre, muß X nicht invertierbar
> sein!
>
> Also, auf ein Neues.
>
Hm, dann weiß ich grad auch nicht, kannst du mir einen Tipp/Ansatz geben?
>
> >
> >
> > (b)
> >
> > Hier müsste man ja auch wieder zwei Inklusionen zeigen,
> > aber reicht es nicht zu zeigen, dass, wenn [mm]\lambda[/mm] ein
> > Eigenwert von Z ist, dann auch [mm]\lambda^2[/mm] ein Eigenwert von
> > [mm]Z^2[/mm] ist?
>
> Warum sollte das reichen ????
>
>
> >
> > Beh. [mm] "\supseteq":[/mm] [mm]\lambda[/mm] ist Eigenwert von Z [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\lambda^2[/mm] ist
> > Eigenwert von [mm]Z^2.[/mm]
> >
> > Bew.: Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von Z mit Eigenvektor v,
> > d.h. [mm]Zv=\lambda v[/mm]. Für [mm]Z^{2}v[/mm] gilt dann
> > [mm]Z^2v=(Z\cdot{Z})v=Z(Zv)=Z\lambda v=\lambda Zv=\lambda\cdot \lambda v=\lambda^2v[/mm].
> > [mm]\Box[/mm]
>
> Das ist O.K.
>
> Du mußt jetzt noch zeigen:
>
> Ist [mm]\mu[/mm] ein Eigenwert von [mm]Z^2,[/mm] so gibt es einen Eigenwert
> [mm]\lambda[/mm] von Z mit [mm]\mu=\lambda^2[/mm]
>
> [mm] "\subseteq":
[/mm]
Sei [mm] \lambda^2 [/mm] Eigenwert von [mm] Z^2 [/mm] mit Eigenvektor v, d.h.
[mm] Z^{2}v=\lambda^{2}v=\lambda^{2}E_{n}v
[/mm]
[mm] \gdw Z^{2}v-\lambda^{2}E_{n}v=0
[/mm]
[mm] \gdw (Z^{2}-\lambda^{2}E_{n})v=0
[/mm]
[mm] \gdw ((Z+\lambda E_n)(Z-\lambda E_n))v=0.
[/mm]
Wenn ich jetzt von links mit [mm] (Z+\lambda E_n)^{-1} [/mm] multipliziere erhalte ich
[mm] $(Z-\lambda E_n)v=0\quad\gdw\quad Zv=\lambda [/mm] v$,
was bedeutet, dass [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von Z ist. Darf ich die Inverse oben bilden oder sollte man hier anders herangehen?
gruß triad
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 10.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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