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Forum "Relationen" - Eigenschaften von Relationen
Eigenschaften von Relationen < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenschaften von Relationen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:39 Di 11.02.2014
Autor: Nillex

Aufgabe
Wir definieren [mm] M:=\IR^2 [/mm] die folgende Relation:
[mm] R_1:=\{((a,b),(c,d)\in M x M : (a\le c)\} [/mm] ,
[mm] R_2:=\{((a,b),(c,d)\in M x M : (a\le c)\wedge (b \le d)\} [/mm] .

Überprüfen Sie R1, R2 auf Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität.



Hallo erstmal,
ich würde mich freuen wenn mir hier jemand Helfen könnte :)

Definition:
Reflexiv:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X : xRx
Antisymmetrie:
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X : xRy [mm] \wedge [/mm] yRx [mm] \Rightarrow [/mm] x = y
Transitivität:
[mm] \forall [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] X : xRy [mm] \wedge [/mm] yRz [mm] \Rightarrow [/mm] xRz


Das ist mein Ansatz für R1:
ZZ: xRx
Da alle Zahlen frei wählbar aus R kommen, ausgenommen [mm] a\le [/mm] c
Diese aber doch gleich sein können, kann ich die Zahlen so wählen das sie Reflexiv sind.
zB.: (1,4) R (1,4)
     (a,b) R (c,d)
Ist das richtig ? Oder sollte da (a,b) R (a,b) stehen und (c,d) ist hier egal ? Oder sollte man das ganze Tupel als x und das andere Tupel als y betrachten ? sprich x=(a,b) ?

Ich bin dankbar für jede Hilfe !




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Eigenschaften von Relationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Di 11.02.2014
Autor: fred97


> Wir definieren [mm]M:=\IR^2[/mm] die folgende Relation:
>  [mm]R_1:=\{((a,b),(c,d)\in M x M : (a\le c)\}[/mm] ,
>  [mm]R_2:=\{((a,b),(c,d)\in M x M : (a\le c)\wedge (b \le d)\}[/mm]
> .
>  
> Überprüfen Sie R1, R2 auf Reflexivität, Antisymmetrie
> und Transitivität.
>  
>
> Hallo erstmal,
>  ich würde mich freuen wenn mir hier jemand Helfen könnte
> :)
>  
> Definition:
>  Reflexiv:
>  [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X : xRx
>  Antisymmetrie:
>  [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] X : xRy [mm]\wedge[/mm] yRx [mm]\Rightarrow[/mm] x = y
>  Transitivität:
>  [mm]\forall[/mm] x,y,z [mm]\in[/mm] X : xRy [mm]\wedge[/mm] yRz [mm]\Rightarrow[/mm] xRz
>  
>
> Das ist mein Ansatz für R1:
>  ZZ: xRx


Zu zeigen: xR_1x für alle x [mm] \in \IR^2. [/mm]


>  Da alle Zahlen frei wählbar aus R kommen, ausgenommen
> [mm]a\le[/mm] c
>  Diese aber doch gleich sein können, kann ich die Zahlen
> so wählen das sie Reflexiv sind.

Das ist doch Unsinn !


> zB.: (1,4) R (1,4)
> (a,b) R (c,d)
>  Ist das richtig ? Oder sollte da (a,b) R (a,b) stehen und
> (c,d) ist hier egal ? Oder sollte man das ganze Tupel als x
> und das andere Tupel als y betrachten ? sprich x=(a,b) ?
>  
> Ich bin dankbar für jede Hilfe !

Zur Reflexivität ist zu zeigen: ist (a,b) [mm] \in \IR^2, [/mm] so gilt: (a,b) [mm] R_1 [/mm] (a,b)

Ich behaupte, dass dies der Fall ist. Du sagst mir nun, warum.

FRED

>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Eigenschaften von Relationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Di 11.02.2014
Autor: Nillex

Zur Reflexivität ist zu zeigen: ist (a,b) $ [mm] \in \IR^2, [/mm] $ so gilt: (a,b) $ [mm] R_1 [/mm] $ (a,b).

An (a,b) ist keine Bedingung geknüpft und kann somit, mit sich selbst in Relation stehen (a,b) R (a,b) aufgrund von R x R.

Bezug
                        
Bezug
Eigenschaften von Relationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:18 Di 11.02.2014
Autor: fred97


> Zur Reflexivität ist zu zeigen: ist (a,b) [mm]\in \IR^2,[/mm] so
> gilt: (a,b) [mm]R_1[/mm] (a,b).
>
> An (a,b) ist keine Bedingung geknüpft und kann somit, mit
> sich selbst in Relation stehen (a,b) R (a,b) aufgrund von R
> x R.

Was ist los ?


Es gilt (a,b) [mm]R_1[/mm] (a,b)   [mm] \gdw [/mm] a [mm] \le [/mm] a.

FRED

Bezug
                                
Bezug
Eigenschaften von Relationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:30 Di 11.02.2014
Autor: Nillex

Ahhh, da war schon mein erster Denkfehler, vielen Dank !


> Es gilt (a,b) [mm]R_1[/mm] (a,b)   [mm]\gdw[/mm] a [mm]\le[/mm] a.

und weil a [mm]\le[/mm] a gilt, ist R1, Reflexiv.

Vielen Dank für die schnellen Antworten FRED !




Bezug
                                        
Bezug
Eigenschaften von Relationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 Di 11.02.2014
Autor: Nillex

Ist die Reflexivität denn nun richtig ?

Nun zur Antisymmetrie:

(a,b) R (c,d) [mm] \wedge [/mm] (c,d) R (a,b) [mm] \Rightarrow [/mm] (a,b) = (c,d)  [mm] \gdw a\le [/mm] c [mm] \wedge c\le [/mm] a somit wäre dies Antisymmetrisch ?
In meinen Unterlagen steht das dies nicht Antisymmetrisch sei, warum dies so ist, steht da nicht.

Transitivität:
(a,b) R (c,d) [mm] \wedge [/mm] (c,d) R (e,f) [mm] \Rightarrow [/mm] (a,b) R (e,f) [mm] \gdw a\le [/mm] c [mm] \wedge c\le [/mm] e [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \le [/mm] e.
Da das der Fall ist, ist die Transitivität bewiesen.

Bezug
                                                
Bezug
Eigenschaften von Relationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Di 11.02.2014
Autor: fred97


> Ist die Reflexivität denn nun richtig ?
>  
> Nun zur Antisymmetrie:
>  
> (a,b) R (c,d) [mm]\wedge[/mm] (c,d) R (a,b) [mm]\Rightarrow[/mm] (a,b) =
> (c,d)  [mm]\gdw a\le[/mm] c [mm]\wedge c\le[/mm] a somit wäre dies
> Antisymmetrisch ?

nein.


>  In meinen Unterlagen steht das dies nicht Antisymmetrisch
> sei, warum dies so ist, steht da nicht.

Es ist z.B. (1,2) [mm] R_1 [/mm] (1,3) und (1,3) [mm] R_1 [/mm] (1,2), aber (1,2) [mm] \ne [/mm] (1,3)


>
> Transitivität:
>  (a,b) R (c,d) [mm]\wedge[/mm] (c,d) R (e,f) [mm]\Rightarrow[/mm] (a,b) R
> (e,f) [mm]\gdw a\le[/mm] c [mm]\wedge c\le[/mm] e [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\le[/mm] e.
>  Da das der Fall ist, ist die Transitivität bewiesen.

Ja

FRED


Bezug
                                                        
Bezug
Eigenschaften von Relationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Di 11.02.2014
Autor: Nillex


> Es ist z.B. (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,3) und (1,3) [mm]R_1[/mm] (1,2), aber (1,2)
> [mm]\ne[/mm] (1,3)

Aber b und d können doch hier auch den gleichen Wert annehmen, also
(1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2) und (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2) ?

Gruß Nils

Bezug
                                                                
Bezug
Eigenschaften von Relationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Di 11.02.2014
Autor: fred97


> > Es ist z.B. (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,3) und (1,3) [mm]R_1[/mm] (1,2), aber (1,2)
> > [mm]\ne[/mm] (1,3)
>  
> Aber b und d können doch hier auch den gleichen Wert
> annehmen, also
>   (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2) und (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2) ?

Ja, das können sie. Und was ist nun Dein Problem ?

FRED

>  
> Gruß Nils


Bezug
                                                                        
Bezug
Eigenschaften von Relationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 Di 11.02.2014
Autor: Nillex

Ja,  dann ist doch
(1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2) und (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2),  (1,2) = 1,2) und somit ist das doch Antisymmetrisch ?

Bezug
                                                                                
Bezug
Eigenschaften von Relationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Di 11.02.2014
Autor: fred97


> Ja,  dann ist doch
> (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2) und (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2),  (1,2) = 1,2) und
> somit ist das doch Antisymmetrisch ?

Ich glaube, Du hast nicht kapiert, wann eine Relation "antisymmetrisch" ist:

Eine Relation R heisst antisymmetrisch, wenn aus

    $xRy $  und  $ yRx $   stets (!) folgt: x=y.

Bei obiger Relation [mm] R_1 [/mm] haben wir mit x=(1,2) und y=(1,3):

       [mm] $xR_1 [/mm] y $  und  $ yR_1x $  

Aber es ist x [mm] \ne [/mm] y.

FRED

Bezug
                                                                                        
Bezug
Eigenschaften von Relationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:30 Di 11.02.2014
Autor: Nillex

Ne, das wusste ich wirklich nicht.... danke für deine Antworten, du hast mir sehr geholfen !
Gruß Nils

Bezug
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