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| Aufgabe | Für einen Ring R
sei (C(R);+; *) definiert durch
- C(R) := R [mm] \times [/mm] R = {(a,b)|a,b [mm] \in [/mm] R}
- [mm] (a_1, b_1) [/mm] + [mm] (a_2, b_2) [/mm] := (a1 + a2; b1 + b2) und
- (a1; b1) * (a2; b2) := (a1 * a2 - b1 * b2; a1 * b2 + a2 * b1)
für alle (a1; b1); (a2; b2) [mm] \in [/mm] C(R). Zeigen Sie:
(a) (C(R);+; *) ist ein Ring.
Hinweis: Sie können verwenden, dass (C(R); +) eine abelsche Gruppe ist.
(b) C(R) besitzt ein Einselelement genau dann, wenn R eines besitzt. |
Ich habe für (a):
Da "+" abelsche Gruppe ist, ist zu zeigen, dass "*" Halbgruppe ist.
Nun habe ich die Assoziativität gezeigt und auch die Distributivität, wie es für einen Ring gefordert ist.
Habe ich etwas vergessen oder reicht das so?
Für (b):
Wenn C(R) nullteilerfreier Ring mit 1 und R von 0 verschiedener Unterring mit 1', so muss gelten 1=1'
Da 1' von 0 verschieden und 1*1'=1'=1'*1' folgt 1=1'
Reicht diese Aussage so aus, oder habe ich hier komplett daneben geschossen?
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> Für einen Ring R
> sei (C(R);+; *) definiert durch
> - C(R) := R [mm]\times[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R = {(a,b)|a,b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R}
> - [mm](a_1, b_1)[/mm] + [mm](a_2, b_2)[/mm] := (a1 + a2; b1 + b2) und
> - (a1; b1) * (a2; b2) := (a1 * a2 - b1 * b2; a1 * b2 + a2
> * b1)
> für alle (a1; b1); (a2; b2) [mm]\in[/mm] C(R). Zeigen Sie:
>
> (a) (C(R);+; *) ist ein Ring.
> Hinweis: Sie können verwenden, dass (C(R); +) eine
> abelsche Gruppe ist.
>
> (b) C(R) besitzt ein Einselelement genau dann, wenn R eines
> besitzt.
> Ich habe für (a):
> Da "+" abelsche Gruppe ist, ist zu zeigen, dass "*"
> Halbgruppe ist.
>
> Nun habe ich die Assoziativität gezeigt und auch die
> Distributivität, wie es für einen Ring gefordert ist.
> Habe ich etwas vergessen oder reicht das so?
Genügt so.
>
> Für (b):
> Wenn C(R) nullteilerfreier Ring mit 1 und R von 0
> verschiedener Unterring mit 1', so muss gelten 1=1'
> Da 1' von 0 verschieden und 1*1'=1'=1'*1' folgt 1=1'
Das passt doch schon strukturell nicht. Außerdem ist [mm] $a\cdot [/mm] b$ mit [mm] $a\in R,b\in [/mm] C(R)$ gar nicht definiert!
Das Einselement in C(R) ist ein Paar und in R kein Paar, da kann 1=1' nur falsch sein.
Außerdem sollst du nicht die Gleichheit zeigen, sondern
[mm]\exists 1\in C(R)\gdw \exists 1\in R[/mm]
>
> Reicht diese Aussage so aus, oder habe ich hier komplett
> daneben geschossen?
Konkret kannst du annehmen, dass es in R ein Einselement gibt, d.h. es gibt ein Element [mm]1\in R[/mm] mit der Eigenschaft, [mm]1\cdot r=r\cdot 1=r\quad\forall r\in R[/mm]. Und musst damit Schlussfolgern [mm]\exists e=(e_1,e_2)\in C(R)[/mm] mit der Eigenschaft [mm]e\cdot c=c\cdot e=c[/mm]. Das heißt, doch, dass du entweder direkt die Multiplikation in C(R) wieder auf R runterschraubst oder einen Widerspruch bastelst zu:
Es gibt kein Einselement in R, aber ein Einselement in C(R).
Ich würde dafür plädieren die Multiplikation von C(R) auf R runter zuschrauben und dann anfang zu argumentieren, da in R es ein Einselement gibt ,....
Ich lass es mal auf halb beantwortet. Vielleicht gibt es ja noch eine hübsche andere Idee.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Sa 26.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für einen Ring R
> sei (C(R);+; *) definiert durch
> - C(R) := R [mm]\times[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R = {(a,b)|a,b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R}
> - [mm](a_1, b_1)[/mm] + [mm](a_2, b_2)[/mm] := (a1 + a2; b1 + b2) und
> - (a1; b1) * (a2; b2) := (a1 * a2 - b1 * b2; a1 * b2 + a2
> * b1)
> für alle (a1; b1); (a2; b2) [mm]\in[/mm] C(R). Zeigen Sie:
>
> (b) C(R) besitzt ein Einselelement genau dann, wenn R eines
> besitzt.
>
> Wenn C(R) nullteilerfreier Ring mit 1 und R von 0
> verschiedener Unterring mit 1', so muss gelten 1=1'
> Da 1' von 0 verschieden und 1*1'=1'=1'*1' folgt 1=1'
Wie wieschoo schon schrieb, macht das nur begrenzt Sinn.
Du hast zwei Dinge zu zeigen:
1) hat $R$ eine Eins, so auch $C(R)$;
2) hat $C(R)$ eine Eins, so auch $R$.
Zu 1): das ist einfach. Hat $R$ ein Einselement [mm] $1_R$, [/mm] so gibt einfach ein Paar $(a, b) [mm] \in R^2 [/mm] = C(R)$ an, so dass $(a, b)$ ein Einselement in $C(R)$ ist.
Wenn du keinen Schimmer hast, welches das sein sollte, schau dir doch mal die Gleichungen $(a, b) [mm] \cdot (1_R, [/mm] 0) = [mm] (1_R, [/mm] 0)$ und $(a, b) [mm] \cdot [/mm] (0, [mm] 1_R) [/mm] = (0, [mm] 1_R)$ [/mm] an; diese muessen ja gelten, wenn $(a, b)$ ein Einselement ist. Was sagen diese ueber $a$ und $b$ aus?
Zu 2): angenommen, es gibt $a, b [mm] \in [/mm] R$ mit $(a, b) [mm] \cdot [/mm] (c, d) = (c, d) = (c, d) [mm] \cdot [/mm] (a, b)$ fuer alle $(c, d) [mm] \in [/mm] C(R)$. Betrachte diese Gleichung mal fuer $d = 0$. Was sagt diese Gleichung dann ueber $a$ aus?
LG Felix
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