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| Aufgabe | [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2}
[/mm]
Bestimmen der Eigenwerte, die geometrische und algebraische Vielfachheit und den Eigenraum. |
Hallo Leute,
die Eigenwerte habe ich berechnet, weil [mm] det(\lambda*E [/mm] - A) einfach durch Multiplikation der Hauptdiagonalen zu berechnen ist. Die algebraische Vielfachheit ist dabei auch leicht zu ermitteln.
Die Eigenwerte sind 2 (5 mal) und 1 (2 mal)
Nun mein Problem:
Wie kann ich die Eigenvektoren berechnen und wie komme ich auf die geometrische Vielfachheit ?
Ich weiß, dass die geometrische Vielfachheit die Anzahl an linear unabhängigen Eigenvektoren ist.
Ich habe eine Lösung, in der angegeben ist, dass die geometrische Vielfachheit 2,3 ist. Dabei verstehe ich schon mal nicht, dass es überhaupt 2 Verschiedene geben kann. Der Weg dort hin steht nicht dabei, ich komme auch nicht drauf.
Wäre nett, wenn mir jemand unter die Arme greifen könnte.
Danke im Vorraus
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Hallo
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Bestimmen der Eigenwerte, die geometrische und algebraische
> Vielfachheit und den Eigenraum.
> Hallo Leute,
>
> die Eigenwerte habe ich berechnet, weil [mm]det(\lambda*E[/mm] - A)
> einfach durch Multiplikation der Hauptdiagonalen zu
> berechnen ist. Die algebraische Vielfachheit ist dabei auch
> leicht zu ermitteln.
Soweit ist alles ok
Jetzt vermute ich einen Tippfehler: Deine Vielfachheit stimmt nicht mit der Diagonalen überein.
> Die Eigenwerte sind 2 (5 mal) und 1 (2 mal)
> Nun mein Problem:
>
> Wie kann ich die Eigenvektoren berechnen und wie komme ich
> auf die geometrische Vielfachheit ?
Das ist nicht schwer. Der Vektor x heißt doch Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] , wenn (er nicht Null ist und) gilt [mm] Ax=\lambda [/mm] x
Also mußt Du das lineare Gleichungssystem [mm] (A-\lambda [/mm] E)x=0 lösen.
D. h. Du bestimmst dadurch eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] Dessen Dimension ist (per definitionem) die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts [mm] \lambda.
[/mm]
Das machst Du mit jedem Eigenwert ( hier also mit 1 und 2) so. Damit ist doch auch klar , dass es hier 2 geometrische Vielfachheiten gibt.
> Ich weiß, dass die geometrische Vielfachheit die Anzahl an
> linear unabhängigen Eigenvektoren ist.
>
> Ich habe eine Lösung, in der angegeben ist, dass die
> geometrische Vielfachheit 2,3 ist. Dabei verstehe ich schon
> mal nicht, dass es überhaupt 2 Verschiedene geben kann. Der
> Weg dort hin steht nicht dabei, ich komme auch nicht drauf.
Ich hoffe, Du siehst jetzt etwas klarer. Wenn nicht, nochmals melden
gruß korbinian
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du hattest recht. ich habe mich vertan. in der letzten zeile muss eine 2 stehen.
Das Problem ist jetzt aber, dass ich für jeden x-Wert einfach 0 rausbekomme, wenn ich die Eigenwerte als [mm] \lambda [/mm] einsetze. Und das ist ja dann kein Eigenvektor.
Gruß
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Hallo
ich versteh Dein Problem nicht ganz.
Du mußt in Deiner Matrix A zunächst 2 in der Hauptdiagonalen subtrahieren. Dann bekommst Du eine Matrix B, die doch nicht den vollen Rang hat. Damit hat das Gleichungssystem Bx=0 doch außer dem Nullvektor noch andere Lösungen. Um die geht´s.
Dann die ganze Prozedur nochmal mit dem anderen Eigenwert.
Gruß korbinian
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ich hab es hinbekommen. danke für deine tipps, ich glaub ist stand auf dem Schlauch.
Gruß Thorsten
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