Eigenvektoren bestimmen < Eigenwertprobleme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:53 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich habe hier eine Matrix und soll verifizieren, dass die Eigenvektoren von A durch [mm] v_{kl}=(v_{kl}^{11}, v_{kl}^{12},...,v_{kl}^{1m}, v_{kl}^{21},...,v_{kl}^{2m},v_{kl}^{31},...,v_{kl}^{mm})^T [/mm] mit
[mm] v_{kl}^{ij}=sin\bruch{ik\pi}{m+1}sin\bruch{jl\pi}{m+1} [/mm] für k,l=1,...,m gegeben sind. Außerdem soll man noch die zugehörigen Eigenwerte bestimmen.
Die Matrix [mm] A\in\IR^{n\times n} [/mm] sieht so aus:
[mm] A=\pmat{B & -I & ... \\ -I & B & -I & ... \\ ... \\ ... & -I & B & -I \\ ...& & -I & B}
[/mm]
wobei [mm] B=\pmat{4 & -1 & \\ -1 & 4 & -1 \\ \\ & & -1 & 4 & -1 \\ & & & -1 & 4}\in\IR^{m\times m}
[/mm]
(wobei hier überall natürlich auch diagonal Pünktchen stehen sollen...)
Ich finde, das sieht erstmal reichlich kompliziert aus - nach welchem "Verfahren" berechnet man denn bei so etwas die Eigenwerte und Eigenvektoren?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 So 19.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Danke für den Tipp - ich hatte das gar nicht wirklich gemerkt, dass man es theoretisch so einfach machen könnte...
Ich habe es dann mal versucht (ich hatte übrigens total übersehen, dass [mm] n=m^2 [/mm] ist):
Für m=2, also n=4 konnte ich [mm] v_{11} [/mm] noch berechnen, da erhielt ich dann als Eigenwert 2. Dann habe ich mich direkt an die nächste Dimension gemacht, also m=3 und n=9 ohne die weiteren Eigenvektoren der [mm] 2\times2-Matrix [/mm] berechnet zu haben. Das hatte ich schlicht und einfach vergessen... Bei meiner [mm] 9\times9-Matrix [/mm] konnte man die "Sinüsse" dann auch noch recht gut berechnen, ich erhielt oft 0,5 oder [mm] \wurzel{0,5}, [/mm] allerdings war das Ergebnis der Multiplikation so, dass ich keinen exakten Eigenwert finden konnte.
Und außerdem stellt sich mir die Frage: Wie mache ich das denn jetzt für die [mm] n\times [/mm] n-Matrix? Bei einfacheren Matrizen könnte man das ja durch "hinschauen" oder durch Induktion zeigen, aber hier? Ich habe ja vier Indizes - zwei unten und zwei oben - an meinem v. Da kann ich doch schlecht alle berechnen? (Außerdem komme ich beim Rechnen mit so vielen Indizes immer total durcheinander...)
Was ich noch überlegt hatte: evtl. könnte man die Multiplikation in der "Summenschreibweise" (also mit dem Summenzeichen) aufschreiben. Da komme ich nur auch immer durcheinander, deswegen habe ich es erstmal nicht versucht. Glaubst du, das wäre einfacher und würde zum Ziel führen? Oder habe ich dann immer noch so viele Indizes, mit denen ich dann nicht klarkomme und endlos weiterrechnen müsste?
Übrigens steht unter Teil b noch eine Bemerkung: Die Matrix A entsteht bei der Diskretisierung des Laplaceoperators...
Von Diskretisierung und Laplaceoperator habe ich zwar schon was gehört, aber meinst du es würde helfen, wenn ich da mal bei google nach suche? Also für diese Aufgabe hier helfen?
Wenn du noch einen Tipp zu dieser Aufgabe hast, dann wäre das toll. Aber du musst nicht die Multiplikation durchführen und sie mir vorrechnen...
Viele Grüße
Christiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:34 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Ich habe hier eine Matrix und soll verifizieren, dass die
> Eigenvektoren von A durch [mm]v_{kl}=(v_{kl}^{11}, v_{kl}^{12},...,v_{kl}^{1m}, v_{kl}^{21},...,v_{kl}^{2m},v_{kl}^{31},...,v_{kl}^{mm})^T[/mm]
> mit
> [mm]v_{kl}^{ij}=sin\bruch{ik\pi}{m+1}sin\bruch{jl\pi}{m+1}[/mm] für
Also, irgendwo muss hier meiner Meinung nach statt eines $m$'s ein $n$ stehen. Die Frage ist: Wo? Kannst du die Aufgabenstellung bitte noch einmal kontrollieren?
Danke. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> > Eigenvektoren von A durch [mm]v_{kl}=(v_{kl}^{11}, v_{kl}^{12},...,v_{kl}^{1m}, v_{kl}^{21},...,v_{kl}^{2m},v_{kl}^{31},...,v_{kl}^{mm})^T[/mm]
>
> > mit
> > [mm]v_{kl}^{ij}=sin\bruch{ik\pi}{m+1}sin\bruch{jl\pi}{m+1}[/mm]
> für
>
> Also, irgendwo muss hier meiner Meinung nach statt eines
> [mm]m[/mm]'s ein [mm]n[/mm] stehen. Die Frage ist: Wo? Kannst du die
> Aufgabenstellung bitte noch einmal kontrollieren?
Nein, hier stehen wirklich überall nur m's. Warum sollte denn dort ein m stehen? Ich finde es eigentlich okay so, dass der Nenner bei beiden Sinus (was ist eigentlich der Plural von Sinus???) gleich ist.
Vielleicht hatte ich nicht deutlich genug gesagt, dass [mm] B\in\IR^{m\times m} [/mm] (hatte ich das überhaupt gesagt?) und [mm] n=m^2 [/mm] (das hatte ich zumindest in der letzten Mitteilung gesagt).
Also kommen wir hier jetzt nicht weiter?
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> [mm]n=m^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , das muss ich überlesen haben...
Liebe Grüße
Stefan
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Matrix mal Vektor und schaue, dass dann ein Vielfaches des Vektors rauskommt (vermutlich musst du Additionstheorme o.ä. verwenden). Die Vielfachen sind dann die Eigenwerte.
