Eigenvektoren bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Mi 16.02.2011 | | Autor: | someone |
| Aufgabe | | Welche Eigenvektoren hat die Matrix [mm]A=\pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 2 }[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda = 3[/mm]? |
Hallo,
bei der genannten Aufgabenstellung komm' ich einfach nicht weiter. Mein Ansatz ist, dass ich ein LGS aufstelle [mm](A-3*E)*\vec{x}=0[/mm]. Damit erhalte ich
[mm]\pmat{ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0\\ -1 & 1 & -1 & 0 } \Rightarrow \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]
Aber ab dieser Stelle steh' ich so dermaßen auf'm Schlauch, dass ... Also ich könnte [mm]x_{2} = x_{1} + x_{3}[/mm] daraus ableiten bzw. einen Vektor mit zwei Parametern. Doch wie schließe ich nun auf die geforderten Eigenvektoren?
Beste Grüße
ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:07 Mi 16.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Sorry, hier stand Unsinn.
Danke, Al-Chwarizmi
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> Hi,
> > Welche Eigenvektoren hat die Matrix [mm]A=\pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 2 }[/mm]
> > zum Eigenwert [mm]\lambda = 3[/mm]?
> > Hallo,
> >
> > bei der genannten Aufgabenstellung komm' ich einfach nicht
> > weiter. Mein Ansatz ist, dass ich ein LGS aufstelle
> > [mm](A-3*E)*\vec{x}=0[/mm]. Damit erhalte ich
> >
> > [mm]\pmat{ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0\\ -1 & 1 & -1 & 0 } \Rightarrow \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> als erweiterte Matrix.
> >
> > Aber ab dieser Stelle steh' ich so dermaßen auf'm
> > Schlauch, dass ... Also ich könnte [mm]x_{2} = x_{1} + x_{3}[/mm]
> > daraus ableiten bzw. einen Vektor mit zwei Parametern. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Besser du schließt auf [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\frac{x_{1} + x_{3}}{2}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
daran zweifle ich ...
der Vektor [mm] \pmat{1\\1\\1} [/mm] würde dies erfüllen, ist aber
kein Eigenvektor !
> Das ist schon ganz gut. Vermutlich bist du aber an einer
> Basis des Eigenraums interessiert.
> Dazu hast du nun die beiden frei wählbaren Variablen [mm]x_1[/mm]
> und [mm]x_3,[/mm] von denen [mm]x_2[/mm] stets abhängig ist. 2 freie
> Variablen heißt an dieser Stelle, dass der Eigenraum
> zweidimensional ist. Eine Basis erhältst du, indem du eine
> der beiden frei wählbaren Variablen auf 2 (oder auf einen
> anderen [mm]Wert\neq0)[/mm] und die andere auf 0 setzt:
> Beispiel [mm](x_3=0, x_1=2)\Rightarrow x_2=\frac{x_1+x_3}{2}=1[/mm],
> also Basisvektor [mm](2,1,0)^T[/mm]
> Der andere ergibt sich dann aus [mm]x_3=2, x_1=0,[/mm] also wieder
> [mm]x_2=1[/mm]
>
> Gruß
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Mi 16.02.2011 | | Autor: | someone |
VIelen herzlichen Dank für deine Antwort!
> > Also ich könnte [mm]x_{2} = x_{1} + x_{3}[/mm]
> > daraus ableiten bzw. einen Vektor mit zwei Parametern.
> Besser du schließt auf [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\frac{x_{1} + x_{3}}{2}[/mm]
Verdammt, da muss ich wohl was grundlegendes nicht verstanden
haben. Ich dachte die erweiterte Matrix
[mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
liefert mir die Gleichung [mm]x_{1}-x_{2}+x_{3}=0[/mm], diese nach
[mm]x_{2}[/mm] umgestellt ist nicht [mm]x_{1}+x_{3}=x_{2}[/mm]?
> Das ist schon ganz gut. Vermutlich bist du aber an einer
> Basis des Eigenraums interessiert.
Puh, du machst mich fertig! Ist die Dimension eines solchen
Untervektorraums immer kleiner wie die des Hauptvektorraums?
Oder könnte mir der Eigenwert für eine 3x3-Matrix bspw. auch drei
Eigenvektoren liefern?
> Dazu hast du nun die beiden frei wählbaren Variablen [mm]x_1[/mm]
> und [mm]x_3,[/mm] von denen [mm]x_2[/mm] stets abhängig ist.
Ist es irrelevant welche Variable ich zur Abhängigen erkläre? So wäre
es ja auch möglich, dass ich statt [mm]x_2[/mm] die Variable [mm]x_1[/mm]
oder [mm]x_3[/mm] wähle.
> 2 freie Variablen heißt an dieser Stelle, dass der Eigenraum
> zweidimensional ist.
Eine freie Variable hieße dann, mein Eigenraum ist eindimensional?
> Eine Basis erhältst du, indem du eine
> der beiden frei wählbaren Variablen auf 2 (oder auf einen
> anderen [mm]Wert\neq0)[/mm] und die andere auf 0 setzt:
Gibt es dafür ein bestimmtes Schema oder einen bestimmten
Grund, warum man das genauso macht? Bzw. wie sähe dies aus,
wenn ich nur eine freie Variable erhalten hätte?
> Beispiel [mm](x_3=0, x_1=2)\Rightarrow x_2=\frac{x_1+x_3}{2}=1[/mm],
> also Basisvektor [mm](2,1,0)^T[/mm]
> Der andere ergibt sich dann aus [mm]x_3=2, x_1=0,[/mm] also wieder
> [mm]x_2=1[/mm]
Mein CAS spuckt mir folgende Eigenvektoren zu der Matrix [mm]A[/mm] aus:
[mm]c_1 = \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}, c_2=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, c_3=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
Ich hatte daher vermutet, dass mein Eigenraum zu [mm]\lamda = 3[/mm]
eine Teilmenge dieser Eigenvektoren ist?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Mi 16.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Lies mal die Antwort von Al und meinige.
FRED
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> Mein CAS spuckt mir folgende Eigenvektoren zu der Matrix [mm]A[/mm]
> aus:
>
> [mm]c_1 = \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}, c_2=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, c_3=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
[mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] gehören zum Eigenwert [mm] \lambda=3
[/mm]
[mm] c_3 [/mm] wird auf den Nullvektor abgebildet.
> Ich hatte daher vermutet, dass mein Eigenraum zu [mm]\lambda = 3[/mm]
> eine Teilmenge dieser Eigenvektoren ist?
So gesagt ist dies falsch !
Richtig wäre: der Eigenraum zu [mm] \lambda=3 [/mm] wird von zwei dieser
3 Vektoren aufgespannt, nämlich von [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] !
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mi 16.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Du hast erhalten: [mm] x_1-x_2+x_3= [/mm] 0 also
[mm] x_1=x_2-x_3
[/mm]
[mm] x_2=x_2
[/mm]
[mm] x_3= x_3
[/mm]
Setze [mm] x_2=t [/mm] und [mm] x_3=s, [/mm] dann ist [mm] \vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3} [/mm] ein Eigenvektor [mm] \gdw \vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3} \ne \vektor{0\\ 0 \\ 0} [/mm] und es ex. t und s in [mm] \IR [/mm] mit:
[mm] \vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3}=t* \vektor{1\\ 1 \\ 0}+s* \vektor{-1\\ 0 \\ 1}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mi 16.02.2011 | | Autor: | someone |
> Du hast erhalten: [mm]x_1-x_2+x_3=[/mm] 0 also
>
> [mm]x_1=x_2-x_3[/mm]
> [mm]x_2=x_2[/mm]
> [mm]x_3=x_3[/mm]
Ok, hier frage ich mich noch, warum ich ausgerechnet [mm]x_1[/mm] auswählen muss und [mm]x_2[/mm] sowie [mm]x_3[/mm] zu freien Variablen erkläre. Hätte ich etwa die erweiterte Matrix wie folgt umformen müssen?
[mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]
Bzw. muss bei derartigen Umformungen Null-Gleichungen immer unten stehen? Ich hätte schlicht wie Eingangs erwähnt [mm]x_1[/mm] und [mm]x_3[/mm] zu freien Variablen erklärt, was dann aber zu falschen Ergebnissen bzw. Eigenvektoren geführt hätte.
Das restlich Vorgehen habe ich jetzt grob verstanden:
> Setze [mm]x_2=t[/mm] und [mm]x_3=s,[/mm]
D.h. also für jeden Parameter, den ich einer freien Variable zuordne, erzeuge ich quasi einen Vektor und setzte die anderen freien Variablen auf 0. Für [mm]x_2=t[/mm] somit [mm]x_3=0[/mm] und [mm]x_1=t-0[/mm] womit ich
[mm]c_1=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
erhalte. Und für [mm]x_3=s[/mm] eben [mm]x_2=0[/mm] und [mm]x_1=0-s[/mm] womit ich
[mm]c_2=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
erhalte.
> dann ist [mm]\vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3}[/mm] ein Eigenvektor [mm]\gdw \vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3} \ne \vektor{0\\ 0 \\ 0}[/mm] und es ex. t und s in [mm]\IR[/mm] mit:
>
> [mm]\vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3}=t* \vektor{1\\ 1 \\ 0}+s* \vektor{-1\\ 0 \\ 1}[/mm]
Das allerdings verwirrt mich auch noch ein wenig. Ich vermute du hast hier die Parameterform für eine Ebene verwendet, da hier mit zwei freien Variablen eine solche aufgespannt wird. Warum allerdings diese stellvertretend für einen Eigenvektor verwendet werden kann verstehe ich noch nicht. Aufgrund der Aufgabenstellung ("Welche Eigenvektoren [...]") hätte ich vermutet, dass ich eben zwei Vektoren angeben muss.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mi 16.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Du hast erhalten: [mm]x_1-x_2+x_3=[/mm] 0 also
> >
> > [mm]x_1=x_2-x_3[/mm]
> > [mm]x_2=x_2[/mm]
> > [mm]x_3=x_3[/mm]
>
> Ok, hier frage ich mich noch, warum ich ausgerechnet [mm]x_1[/mm]
> auswählen muss und [mm]x_2[/mm] sowie [mm]x_3[/mm] zu freien Variablen
> erkläre.
Das mußt Du nicht zwangsläufig.
Du könntest auch schreiben: [mm] x_2=x_1+x_3 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] zu freien Var. erklären
Hätte ich etwa die erweiterte Matrix wie folgt
> umformen müssen?
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Nein.
>
> Bzw. muss bei derartigen Umformungen Null-Gleichungen immer
> unten stehen?
Nein.
> Ich hätte schlicht wie Eingangs erwähnt [mm]x_1[/mm]
> und [mm]x_3[/mm] zu freien Variablen erklärt, was dann aber zu
> falschen Ergebnissen bzw. Eigenvektoren geführt hätte.
Wenn Du es richtig machst, führt das nicht zu falschen Ergebnissen
>
> Das restlich Vorgehen habe ich jetzt grob verstanden:
>
> > Setze [mm]x_2=t[/mm] und [mm]x_3=s,[/mm]
>
> D.h. also für jeden Parameter, den ich einer freien
> Variable zuordne, erzeuge ich quasi einen Vektor und setzte
> die anderen freien Variablen auf 0. Für [mm]x_2=t[/mm] somit [mm]x_3=0[/mm]
> und [mm]x_1=t-0[/mm] womit ich
>
> [mm]c_1=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> erhalte. Und für [mm]x_3=s[/mm] eben [mm]x_2=0[/mm] und [mm]x_1=0-s[/mm] womit ich
>
> [mm]c_2=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> erhalte.
>
> > dann ist [mm]\vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3}[/mm] ein Eigenvektor [mm]\gdw \vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3} \ne \vektor{0\\ 0 \\ 0}[/mm]
> und es ex. t und s in [mm]\IR[/mm] mit:
> >
> > [mm]\vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3}=t* \vektor{1\\ 1 \\ 0}+s* \vektor{-1\\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Das allerdings verwirrt mich auch noch ein wenig. Ich
> vermute du hast hier die Parameterform für eine Ebene
> verwendet, da hier mit zwei freien Variablen eine solche
> aufgespannt wird. Warum allerdings diese stellvertretend
> für einen Eigenvektor verwendet werden kann verstehe ich
> noch nicht. Aufgrund der Aufgabenstellung ("Welche
> Eigenvektoren [...]") hätte ich vermutet, dass ich eben
> zwei Vektoren angeben muss.
nein, Du solltest doch die Menge aller Eigenvektoren bestimmen.
FRED
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 16.02.2011 | | Autor: | someone |
Hallo Fred,
vielen Dank schonmal bis hier hin für deine Hilfe!
> > > Du hast erhalten: [mm]x_1-x_2+x_3=[/mm] 0 also
> > >
> > > [mm]x_1=x_2-x_3[/mm]
> > > [mm]x_2=x_2[/mm]
> > > [mm]x_3=x_3[/mm]
> >
> > Ok, hier frage ich mich noch, warum ich ausgerechnet [mm]x_1[/mm]
> > auswählen muss und [mm]x_2[/mm] sowie [mm]x_3[/mm] zu freien Variablen
> > erkläre.
>
> Das mußt Du nicht zwangsläufig.
>
> Du könntest auch schreiben: [mm]x_2=x_1+x_3[/mm] und [mm]x_1[/mm] und [mm]x_3[/mm]
> zu freien Var. erklären
Ich habe versucht mit [mm]x_1=t[/mm] und [mm]x_3=s[/mm] die Menge der
EIgenvektoren zu definieren und erhalte:
[mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0} + s*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Bei diesem Ergebnis frage ich mich nun, ob ich es falsch hergeleitet
hab' oder falsch interpretiere, da der zweite Vektor nicht mehr Teil
der Basis der Eigenvektoren ist. Wo ist hier mein Fehler?
> > Ich hätte schlicht wie Eingangs erwähnt [mm]x_1[/mm]
> > und [mm]x_3[/mm] zu freien Variablen erklärt, was dann aber zu
> > falschen Ergebnissen bzw. Eigenvektoren geführt hätte.
>
>
> Wenn Du es richtig machst, führt das nicht zu falschen
> Ergebnissen
Das ist vermutlich noch mein Problem ^^.
Gruß
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> Ich habe versucht mit [mm]x_1=t[/mm] und [mm]x_3=s[/mm] die Menge der
> EIgenvektoren zu definieren und erhalte:
>
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0} + s*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Bei diesem Ergebnis frage ich mich nun, ob ich es falsch
> hergeleitet
> hab' oder falsch interpretiere, da der zweite Vektor
> nicht mehr Teil
> der Basis der Eigenvektoren ist. Wo ist hier mein Fehler? (***)
Da sehe ich überhaupt keinen Fehler !
> > > Ich hätte schlicht wie Eingangs erwähnt [mm]x_1[/mm]
> > > und [mm]x_3[/mm] zu freien Variablen erklärt, was dann aber zu
> > > falschen Ergebnissen bzw. Eigenvektoren geführt hätte.
Nein; ist doch alles in Butter ! ...
bei deiner Darstellung ist ja [mm] x_1=t [/mm] und [mm] x_3=s [/mm] . Werden diese
beiden Werte (also eben [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] , oder, was auf dasselbe
herauskommt, s und t) frei gewählt - natürlich nicht beide gleich
null - so entsteht mittels [mm] x_2=x_1+x_3 [/mm] ein Eigenvektor, und:
auf diese Weise lassen sich alle Eigenvektoren erzeugen.
LG Al-Chw.
(***) vorher hatten wir eine Basis des Eigenraums zu [mm] \lambda=3 [/mm] ,
bestehend aus
$\ [mm] c_1\ [/mm] =\ [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}$ [/mm] und $\ [mm] c_2\ [/mm] =\ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
Hier haben wir eine neue Basis, bestehend aus den Vektoren
[mm] $\vektor{1 \\ 1 \\ 0}\ [/mm] =\ [mm] c_2$ [/mm] und [mm] $\vektor{0 \\ 1 \\ 1}\ [/mm] =:\ [mm] c_4$
[/mm]
Diese beiden Vektoren bilden ebenso eine Basis des gleichen
Eigenraums ! Es ist übrigens [mm] c_4=c_1+c_2 [/mm] .
Merke:
Eine Basis bestimmt den von ihr erzeugten Raum eindeutig.
Die Umkehrung davon gilt nicht: ein Raum bestimmt keineswegs
auf eindeutige Art eine ihn erzeugende Basis.
LG Al-Chw.
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