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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Eigenvektoren einer Drehmatrix
Eigenvektoren einer Drehmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenvektoren einer Drehmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Fr 15.04.2005
Autor: Anika2306

Hallo!

Ich bin bei dieser Aufgabe echt hilflos.
Ich habe eine Drehmatrix in einem 2-dim. Raum gegeben
[mm] \pmat{ cos x & sinx \\ -sinx & cosx } [/mm]
Ich soll jetzt alle  x bestimmrn die in dem Intervall [0;2pi[ liegen, so dass die Matrix von oben einen eigenvektor besitzt.

Wenn man das charakteristische Polynom berechnet, wird es viel zu kompliziert, die Nullstellen zu berechnen.
Wie kann ich die  x ansonsten berechnen?

Vielen Dank für eure Hilfe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Eigenvektoren einer Drehmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 Fr 15.04.2005
Autor: Julius

Hallo!

Anschaulich ist die Aufgabe zunächst völlig klar.

Bei einer Drehung kann es offenbar keine Eigenvektoren geben, es sei denn man dreht nicht ;-) (was bei $x=0$ der Fall ist oder um 180° (also bei [mm] $x=\pi$). [/mm]

Jetzt zur "formalen Rechnung":

Es gilt:

[mm] $CP_A(t) [/mm] = [mm] [\cos(x) [/mm] - [mm] t]^2 [/mm]  + [mm] \sin(x)^2 [/mm] = [mm] \cos^2(x) [/mm] - [mm] 2t\cos(x) [/mm] + [mm] t^2 [/mm] + [mm] \sin^2(x) [/mm] = 1- [mm] 2t\cos(x) [/mm] + [mm] t^2$. [/mm]

Und jetzt schauen wir mal, wie die Nullstellen aussehen:

[mm] $t_{1,2} [/mm] = [mm] \cos(x) \pm \sqrt{\cos^2(x)-1}$. [/mm]

Tja: Für alle $x [mm] \in [0,2\pi)$, [/mm] $x [mm] \notin \{0,\pi\}$ [/mm] steht unter der Wurzel was Negatives...

Viele Grüße
Julius

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