Eigenvektoren mittels Gauß-V. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:25 Mi 08.07.2015 | | Autor: | MDBSC |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich hoffe ihr könnte mir helfen. Ich habe eine Matrix
M=\left(\begin{matrix}
2 & 3 \\
2,5 & 4,5
\end{matrix}\right)
und will einen Eigenvektor der Matrix mittels Gauß-Eliminationsverfahren berechnen. Die (gerundeten) Eigenwerte der Matrix sind: $\lambda_1=0,2396$ und $\lambda_2=6,2604$.
Zum finden des Eigenvektors zu $\lambda_1$ benutze ich natürlich:
$(M-\lambda_1*\mathbbm{1})\cdot\vektor{x \\ y}=\vektor{0 \\ 0}$
mit $(M-\lambda_1*\mathbbm{1})=\left(\begin{matrix}
1,7604 & 3\\
2,5 & 4,2604
\end{matrix}\right)
Diese Matrix bringe ich nun mit dem Gauß-Verfahren in Dreiecksform. Das ergibt:
\left(\begin{matrix}
1467 & 2500\\
0 & 1
\end{matrix}\right)
Und hier kommt nun mein Problem: In der letzten Zeile steht ja quasi $0x + 1y=0$ und damit $y=0$. Daraus folgt aber $x=0$, also nur die triviale Lösung. Laut dem Applet von Arndt Bruenner soll der nicht normierte Eigenvektor $\vektor{-1,7041594578792294 \\ 1}$ sein. Wie ich auf x komme, wenn ich y gleich 1 setzte, ist ja auch kein Problem $(x=\frac{-2500}{1467}\cdot y})$. Die Frage ist nur, warum darf ich y\not=0 setzen??? Mir ist klar, dass es egal ist, ob ich y=1 oder y=780799 setzte, da ich ja x anpasse und Eigenvektoren in ihrer Länge nicht eindeutig sind. Aber wie kann ich mir y\not=0 erklären?
Über Antworte würde ich mich freuen.
MDBSC
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mi 08.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich hoffe ihr könnte mir helfen. Ich habe eine Matrix
> [mm]M=\left(\begin{matrix}
2 & 3 \\
2,5 & 4,5
\end{matrix}\right)[/mm]
> und will einen
> Eigenvektor der Matrix mittels Gauß-Eliminationsverfahren
> berechnen. Die (gerundeten) Eigenwerte der Matrix sind:
> [mm]\lambda_1=0,2396[/mm] und [mm]\lambda_2=6,2604[/mm].
>
> Zum finden des Eigenvektors zu [mm]\lambda_1[/mm] benutze ich
> natürlich:
> [mm](M-\lambda_1*\mathbbm{1})\cdot\vektor{x \\ y}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> mit [mm]$(M-\lambda_1*\mathbbm{1})=\left(\begin{matrix}
1,7604 & 3\\
2,5 & 4,2604
\end{matrix}\right)[/mm]
> Diese
> Matrix bringe ich nun mit dem Gauß-Verfahren in
> Dreiecksform. Das ergibt:
> [mm]\left(\begin{matrix}
1467 & 2500\\
0 & 1
\end{matrix}\right)[/mm]
Das kann nicht sein, denn diese Matrix ist invertierbar. Irgendwo hast Du Dich verrechnet. Entweder bei den Eigenwerten oder bei Gauss.
Fred
> Und hier kommt
> nun mein Problem: In der letzten Zeile steht ja quasi [mm]0x + 1y=0[/mm]
> und damit [mm]y=0[/mm]. Daraus folgt aber [mm]x=0[/mm], also nur die triviale
> Lösung. Laut dem Applet von Arndt Bruenner soll der nicht
> normierte Eigenvektor [mm]\vektor{-1,7041594578792294 \\ 1}[/mm]
> sein. Wie ich auf x komme, wenn ich y gleich 1 setzte, ist
> ja auch kein Problem [mm](x=\frac{-2500}{1467}\cdot y})[/mm]. Die
> Frage ist nur, warum darf ich [mm]y\not=0[/mm] setzen??? Mir ist
> klar, dass es egal ist, ob ich y=1 oder y=780799 setzte, da
> ich ja x anpasse und Eigenvektoren in ihrer Länge nicht
> eindeutig sind. Aber wie kann ich mir [mm]y\not=0[/mm] erklären?
>
> Über Antworte würde ich mich freuen.
> MDBSC
>
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mi 08.07.2015 | | Autor: | MDBSC |
Hallo Fred,
Vielen dank für deine Antwort. Ich habe die EW und das Gauß-Verfahren nochmals per Stift und papier nachgerechnet, vorher habe ich ja Applets für mich rechnen lassen. Es scheint alles zu Stimmen. Dein Argument, dass die Matrix invertierbar ist, verstehe ich nicht so wirklich. Kannst du das bitte erläutern. Da sie invertierbar ist, muss ich die letzte Zeile ja auf 0 1 bringen können, wie ich es getan habe.
MDBSC
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Mi 08.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Allgemein: ist t ein Eigenwert einer Matrix A, so gibt es ein x mit
(A-tI) x=0 und x ist nicht der Nullvektor.
Dann ist jedenfalls A-tI nicht invertierbar.
Man kann es auch so formuliern: t ist Eigenwert von A, genau dann, wenn A-tI nicht invertierbar ist.
Fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Do 09.07.2015 | | Autor: | MDBSC |
Das stimmt natürlich, das mach das ganze für mich nur verwunderlicher.
[mm] $det\left(\begin{matrix} 2-\lambda & 3 \\ 2,5 & 4,5-\lambda \end{matrix}\right)=(2-\lambda)(4,5-\lambda)-2,5\cdot3=\lambda^2-6,5\lambda+1,5$
[/mm]
Die Lösung dieses Polynoms sind
[mm] $\lambda_{1,2}=\frac{+6,5\mp\sqrt{(-6,5)^2-4*1*1,5}}{2}$
[/mm]
Daraus folgt [mm] $\lambda_1\approx [/mm] 0,2396$ und [mm] $\lambda_2=6,2604$
[/mm]
Nehmen wir diesesmal [mm] $\lambda_2$, [/mm] da habe ich das gleiche Problem.
[mm] $(M-\lambda_2\cdot{}\mathbbm{1})\cdot \vec{x}=\vec{0} \Rightarrow\left(\begin{matrix} 2-6,2604 & 3 & | 0\\ 2,5 & 4,5-6,2604 & | 0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} -4,2604 & 3 & | 0\\ 2,5 & -1,7604 & | 0\end{matrix}\right)$
[/mm]
II. Zeile/2.5:
[mm] $\left(\begin{matrix} -4,2604 & 3 & | 0\\ 1 & -0,70416 & | 0\end{matrix}\right)$
[/mm]
II. Zeile*4,2604:
[mm] $\left(\begin{matrix} -4,2604 & 3 & | 0\\ 4,2604 & -3,000003264 & | 0\end{matrix}\right)$
[/mm]
II. Zeile + I. Zeile:
[mm] $\left(\begin{matrix} -4,2604 & 3 & | 0\\ 0 & -0,000003264 & | 0\end{matrix}\right)$
[/mm]
Jetzt hab ich doch eine Idee woran es liegen könnte. Natürlich sind meine Eigenwerte nicht exakt, sondern auf irgendeine Genauigkeit gerundet. Daher sind sie ja aber keine Eigenwerte mehr und die letzte Zeile ergibt nicht 0 0 | 0. Das Applet was ich vorher für das Gauß-Verfahren verwendet habe, multipliziert erstmal jede Zeile mit riesigen Zahlen um auf Integer zu kommen, von daher ist es dort schwer zu sehen, das die letzte Zeile ja eigentlich nahe 0 liegt. Denkt ihr, dass könnte das Problem sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Do 09.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das stimmt natürlich, das mach das ganze für mich nur
> verwunderlicher.
>
> [mm]det\left(\begin{matrix} 2-\lambda & 3 \\ 2,5 & 4,5-\lambda \end{matrix}\right)=(2-\lambda)(4,5-\lambda)-2,5\cdot3=\lambda^2-6,5\lambda+1,5[/mm]
>
> Die Lösung dieses Polynoms sind
> [mm]\lambda_{1,2}=\frac{+6,5\mp\sqrt{(-6,5)^2-4*1*1,5}}{2}[/mm]
> Daraus folgt [mm]\lambda_1\approx 0,2396[/mm] und [mm]\lambda_2=6,2604[/mm]
>
> Nehmen wir diesesmal [mm]\lambda_2[/mm], da habe ich das gleiche
> Problem.
> [mm](M-\lambda_2\cdot{}\mathbbm{1})\cdot \vec{x}=\vec{0} \Rightarrow\left(\begin{matrix} 2-6,2604 & 3 & | 0\\ 2,5 & 4,5-6,2604 & | 0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} -4,2604 & 3 & | 0\\ 2,5 & -1,7604 & | 0\end{matrix}\right)[/mm]
ich hab mal gerechnet:
[mm] det(M-\lambda_2\cdot{}\mathbbm{1})=0,00000816
[/mm]
mit Deinem gerundeten Eigenwert.
>
> II. Zeile/2.5:
> [mm]\left(\begin{matrix} -4,2604 & 3 & | 0\\ 1 & -0,70416 & | 0\end{matrix}\right)[/mm]
>
> II. Zeile*4,2604:
> [mm]\left(\begin{matrix} -4,2604 & 3 & | 0\\ 4,2604 & -3,000003264 & | 0\end{matrix}\right)[/mm]
>
> II. Zeile + I. Zeile:
> [mm]\left(\begin{matrix} -4,2604 & 3 & | 0\\ 0 & -0,000003264 & | 0\end{matrix}\right)[/mm]
>
> Jetzt hab ich doch eine Idee woran es liegen könnte.
> Natürlich sind meine Eigenwerte nicht exakt, sondern auf
> irgendeine Genauigkeit gerundet. Daher sind sie ja aber
> keine Eigenwerte mehr und die letzte Zeile ergibt nicht 0 0
> | 0. Das Applet was ich vorher für das Gauß-Verfahren
> verwendet habe, multipliziert erstmal jede Zeile mit
> riesigen Zahlen um auf Integer zu kommen, von daher ist es
> dort schwer zu sehen, das die letzte Zeile ja eigentlich
> nahe 0 liegt. Denkt ihr, dass könnte das Problem sein?
Das ist das Problem !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Do 09.07.2015 | | Autor: | MDBSC |
Gut, dann danke dir Fred. Die Einfachsten Dinge sind doch oft die Kompliziertesten ;)
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