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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Eigenvektoren sym. Matrizen
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Eigenvektoren sym. Matrizen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 So 24.04.2016
Autor: Masterfire

Hallo liebe Community,

ich würde mich über einen Tipp zu folgendem Problem freuen:

Es geht um eine Art Optimierungsproblem. Der Wert [mm] K = \vec u ^\intercal *C* \vec u [/mm]  soll maximiert werden, wobei [mm]u \in R^n, \left| u \right| = 1 \; und \; C \in R^{n \times n}, C = konstant, C \; ist \; symmetrische \; Matrix[/mm]
Es sei noch erwähnt, dass [mm] C [/mm] eine Kovarianzmatrix ist.

Meine Frage wäre folgende. Ich glaube gelesen zu haben, dass der Eigenvektor von [mm] C [/mm] mit dem größten Eigenwert, normiert und als [mm] u [/mm] in die Gleichung eingesetzt,  das größte [mm] K [/mm] erzeugt. Hat jemand eine idee wie man das Zeigen kann. Es ist mir klar, dass, wenn ich mir alle Eigenvektoren von [mm]C[/mm] anschaue, der mit dem größten Eigenwert, das größte Ergebnis erzeugt, denn ist [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von [mm] C [/mm] und sei [mm] \vec u, u \in R^n, \left| u \right| = 1[/mm] der zugehörige Eigenvektor so gilt ja  [mm]C* \vec u = \lambda * \vec u[/mm]. Somit wäre [mm] K = \vec u^\intercal *C * \vec u = \vec u^\intercal *\lambda * \vec u [/mm].

Somit ist mir klar, dass aus der Menge der Eigenvektoren von [mm]C[/mm] jener mit dem größten Eigenwert  [mm]\lambda[/mm], dass größte [mm]K[/mm] liefert. Mir ist aber keineswegs klar warum eben dieser Eigenektor auch in der größeren Menge [mm] u \in R^n, \left| u \right| = 1[/mm] das größte Ergebnis liefern soll.

Hat da jemand einen Tipp, wo ich eine Erklärung oder einen Beweis finde, dass dies so ist, wenn es denn so ist und ich mich nicht vertue? Ich habe dazu sonst nämlich nichts gefunden.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Vielen Dank
Stephen


        
Bezug
Eigenvektoren sym. Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 So 24.04.2016
Autor: hippias

Tipp: Es gibt sogar eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $C$.

Bezug
                
Bezug
Eigenvektoren sym. Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 So 24.04.2016
Autor: Masterfire

Danke für die Antwort!

Ich dachte mir schon, dass das in diese Richtung geht. Mir persönlich reicht das aber nicht. Braucht man dazu noch etwas Information oder sollte das reichen?

Viele Grüße
Stephen

Bezug
                        
Bezug
Eigenvektoren sym. Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Mo 25.04.2016
Autor: fred97


> Danke für die Antwort!
>  
> Ich dachte mir schon, dass das in diese Richtung geht. Mir
> persönlich reicht das aber nicht. Braucht man dazu noch
> etwas Information oder sollte das reichen?
>  
> Viele Grüße
>  Stephen


Mit $|*|$ ist wohl die euklidische Norm auf dem [mm] \IR^n [/mm] gemeint.

Sei [mm] $||C||:=\max\{|Cu|: u \in \IR^n,|u|=1\}$ [/mm] und $Q(u):=u^TCu$  (u [mm] \in \IR^n) [/mm] die zu C geh. quadratische Form. Dann gilt, da C symmetrisch ist,

     [mm] $||C||=\max\{Q(u): u \in \IR^n,|u|=1\}$ [/mm]

Das hattet Ihr sicher.

Es ex. ein [mm] u_0 \in \IR^n [/mm] mit [mm] |u_0|=1 [/mm] und [mm] ||C||=Q(u_0). [/mm]

Setze [mm] \lambda:=||C||, [/mm] es ist also [mm] \lambda=Q(u_0). [/mm]

Zeige Du nun:

    [mm] |Cu_0-\lambda u_0| \le [/mm] 0,

indem Du  [mm] |Cu_0-\lamba u_0|^2 [/mm] durch das Skalarprodukt ausdrückst.

Es folgt: $C [mm] u_0=\lambda u_0$ [/mm]

FRED

Bezug
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