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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Eigenvektoren/symmetrische Bilinearform
Eigenvektoren/symmetrische Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenvektoren/symmetrische Bilinearform: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:15 Do 29.01.2004
Autor: Nick

N'abend allerzeits,

ich sitze mal wieder an meinen Aufgaben und hab' grad nen Brett vor dem Kopf. Ich hab folgende Aufgabe zu lösen:

a) Es sei V ein K-Vektorraum, [mm]\alpha[/mm] [mm]\in[/mm]  End V und v1,...,vr seien Eigenvektoren von [mm]\alpha[/mm] zu paarweise verschiedenen Eigenwerten t1,...,tr. Zeigen Sie, dass (v1,...,vr) linear unabhängig ist.

b) Es sei nun zusätzlich [mm]\delta[/mm] : V x V -> K eine symmetrische Bilinearform auf V und [mm]\alpha[/mm]  habe die Eigenschaft, dass [mm]\delta[/mm] ([mm]\alpha[/mm] (v),w) = [mm]\delta[/mm] (v,[mm]\alpha[/mm] (w)) für alle v,w [mm]\in[/mm] V gilt. Zeigen Sie, dass v1,...,vr paarweise orthogonal sind, d.h. dass [mm]\delta[/mm] (vi,vj) = 0 ist für i [mm]\neq[/mm] j.

Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben, damit ich ne Idee bekomme, wie ich die Aufgabe lösen kann?

Aber danke schon mal im voraus,

Eurer Nick

        
Bezug
Eigenvektoren/symmetrische Bilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Do 29.01.2004
Autor: Marc

Hallo Nick!

ad a)

Hier könnte man einen Widerspruchsbeweis führen und annehmen, dass [mm] v_1,\ldots,v_r [/mm] nicht linear unabhängig sind.
Dann kann man diese $r$ Eigenvektoren so sortieren (einfach durch Umnummerierung), dass (wenigstens) die ersten $k$ Vektoren linear unabhängig sind, und alle anderen $r-k$ Vektoren eine Linearkombination dieser $k$ Vektoren sind. (Im Extremfall wäre $k=1$, aber das spielt keine Rolle.)
Dann gilt zum Beispiel diese Gleichung:
$ [mm] s_1*v_1 [/mm] + [mm] s_2*v_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] s_k*v_k [/mm] = [mm] v_{k+1} [/mm] $ mit [mm] $s_1,\ldots,s_k\in\IK$ [/mm]
(Der (k+1)-te Eigenvektor ist eine Linearkombination der ersten k Eigenvektoren, s.o.)

Und so geht es weiter:
Nun berechne doch mal zum Spaß das Bild dieser Linearkombination unter [mm] $\alpha$; [/mm] dies geht auf zwei verschiedene Weisen (Tipp: Linearität von [mm] $\alpha$ [/mm] und Eigenvektor-Eigenschaft der Linearkombiniton als ganzes ausnutzen!)

Bei Problemen verrate ich gerne noch mehr :-)

ad b)

Zeige zunächst, dass
[mm] $t_i*\delta(v_i,v_j)=t_j*\delta(v_i,v_j)$ [/mm]
(Linearität von [mm] $\delta$ [/mm] benutzen)

Dann folgt die Behauptung sofort daraus, dass [mm] $t_i\neq t_j$ [/mm] vorausgesetzt war.

Viel Erfolg,
Marc.


Bezug
        
Bezug
Eigenvektoren/symmetrische Bilinearform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:38 So 01.02.2004
Autor: Lisa

Hi,

besitzt du zufällig den Beutelspacher? Da steht auf Seite 204 die Lösung von Teil a.  :-)

Viel Glück!

Bezug
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