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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von B = [mm] \pmat{ 1 & 0,5 \\ -2 & 1 }
[/mm]
a) Eigenwerte (komplex)
b) Eigenvektoren (komplex) |
Hallo nochmal.
Was sind denn überhaupt Eigenwerte? Alles was ich zu dieser Aufgabe beitragen kann ist, dass die Lösungen ja komplex sind und daher irgendwas mit j rauskommt. Aber ich hab keine Ahnung wo ich die Aufgabe jetzt angreifen muss.
Kann mir da vielleicht nochmal jemand etwas unter die Arme greifen?
Gruß und Danke
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Informacao |
Jahaa.. ich habe genau die selbe Frage 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Mo 22.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
du bestimmst zu erst das karakteristiche polynom.
die "nullstellen" sind die eigenwerte [mm] \lambda_{1} \lambda_{2}
[/mm]
[mm] kern(b-I_{2}*\lambda_{1}) [/mm] ergibt den eigenvektor zum eigenwert [mm] \lambda_{1}
[/mm]
analog für [mm] \lambda_{2}
[/mm]
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> Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von B =
> [mm]\pmat{ 1 & 0,5 \\ -2 & 1 }[/mm]
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> a) Eigenwerte (komplex)
> b) Eigenvektoren (komplex)
> Hallo nochmal.
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> Was sind denn überhaupt Eigenwerte? Alles was ich zu dieser
> Aufgabe beitragen kann ist, dass die Lösungen ja komplex
> sind und daher irgendwas mit j rauskommt. Aber ich hab
> keine Ahnung wo ich die Aufgabe jetzt angreifen muss.
>
> Kann mir da vielleicht nochmal jemand etwas unter die Arme
> greifen?
>
> Gruß und Danke
>
> Daniel
Hallo
Eigenwerte sind als Nullstellen des "charakteristischen Polynoms" der Matrix B definiert. dh.
Bestimme die Determinante der Matrix [mm] (B-\lambda E_2) =\pmat{ 1 & 0,5 \\ -2 & 1 }-\lambda\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 0,5 \\ -2 & 1 }-\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda }=\pmat{ 1-\lambda & 0,5 \\ -2 & 1-\lambda } [/mm] Wie du die Determinante dieser Matrix berechnen kannst, weißt du bestimmt.
Sie liefert dir ein Polynom 2ten Grades, das "charakterstische Polynom".
Die Nullstellen dieses Polynoms sind dann die gesuchten Eigenwerte.
Die Eigenvektoren zu den Eigenwerten [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] lassen sich dann als Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems [mm] (B-\lambda_i)\cdot\pmat{ x_1 \\ x_2 }=\pmat{ 0 \\ 0 } [/mm] berechnen, wobei [mm] \pmat{ x_1 \\ x_2 } [/mm] nicht der Nullvektor sein darf, also [mm] \pmat{ x_1 \\ x_2 }\ne\pmat{ 0 \\ 0 }.
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Guten morgen alle zusammen!
Ist denn die Lösung zu der Aufgabe a) einfach nur das hier? $ [mm] =\pmat{ 1 & 0,5 \\ -2 & 1 }-\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda }=\pmat{ 1-\lambda & 0,5 \\ -2 & 1-\lambda } [/mm] $ ???
Das wäre ja dann voll einfach. Ein Frage zu der Aufgabe a) hab ich noch. Geh ich da immer so vor? $ [mm] (B-\lambda E_2) =\pmat{ 1 & 0,5 \\ -2 & 1 }-\lambda\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $
Warum heißt das z.B: E2 und nicht E1? gibts da nen Unterschied?
Vielen Dank
Gruß Daniel
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> Ist denn die Lösung zu der Aufgabe a) einfach nur das hier?
> [mm]=\pmat{ 1 & 0,5 \\ -2 & 1 }-\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda }=\pmat{ 1-\lambda & 0,5 \\ -2 & 1-\lambda }[/mm]
Hallo,
hast Du Dir eigentlich schachutzipus' Antwort durchgelesen?
Er hat doch genau erklärt, was Du tun mußt.
Du mußt die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen, dann hast du die Eigenwerte.
Und das charakteristische Polynom bekommst Du, indem Du die Determinante der Matrix, die Du geneigt warst für die Lösung der Aufgabe zu halten, berechnest.
>
> Das wäre ja dann voll einfach. Ein Frage zu der Aufgabe a)
> hab ich noch. Geh ich da immer so vor? [mm](B-\lambda E_2) =\pmat{ 1 & 0,5 \\ -2 & 1 }-\lambda\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Wenn Du die Eigenwerte von A willst, berechnest Du die Nullstellen der Determinante von [mm] A-\lambda [/mm] E.
>
> Warum heißt das z.B: E2 und nicht E1? gibts da nen
> Unterschied?
[mm] E_2 [/mm] soll hier signalisieren, daß es sich um die Einheitsmatrix der 2X2-Matrizen handelt.
Gruß v. Angela
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