Eigenwert < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Di 30.12.2008 | | Autor: | farnold |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Beschäftige mich gerade mit Eigenwerten und Eigenvektoren und habe Schwierigkeiten bei folgendem Beweis:
I = Einheitsmatrix
Für F [mm] \in [/mm] Endomorphsmus(V) und [mm] \lambda \in [/mm] K ist
Zu zeigen_:
[mm] \lambda [/mm] ist ein Eigenwert von F <=> det(F - [mm] \lambda [/mm] * I)
Bew: F(v) = [mm] \lambda [/mm] * v
<=> F(v) - [mm] \lambda [/mm] *v = 0
<=> (F - [mm] \lambda [/mm] I )(v) = 0 // wegen Linearität
<=> Ker(F - [mm] \lambda [/mm] I ) != {0} //nach Definition des Kerns
<=> Image(F - [mm] \lambda [/mm] I) != V //nach Dimensionsformel
<=> rang(F - [mm] \lambda [/mm] I) < dimV // nach Definition des Rangs
<=> det (F - [mm] \lambda [/mm] I ) = 0
[mm] \lambda [/mm] ist ja nun ein Eigenvektor.
bezeichnet man hier nun mit v einen Eigenvektor?
"F(v) - [mm] \lambda [/mm] *v = 0
<=> (F - [mm] \lambda [/mm] I )(v) = 0 // wegen Linearität"
warum darf man das so schreiben ist z.b. F(v) + F(w) = F(v+w) falls F lin. ist klar, aber warum darf man (F - [mm] \lambda [/mm] I )(v) statt F(v) - [mm] \lambda [/mm] *v schreiben?
der rest des Bwewis ist klar.
Noch eine kurze Frage zur Determinante.
Gegeben sei eine nxn Matrix A
vertausche ich nun 2 Zeilen und nenne diese Matrix B dann ist det(A) = -det(B), soweit so gut
darf ich in dieser Matrix nun auch zwei Spalten vertauschen, eigentlich ja, dann würde sich das vorzeichen aber auch wieder ändern?
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Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Beschäftige mich gerade mit Eigenwerten und Eigenvektoren
> und habe Schwierigkeiten bei folgendem Beweis:
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> I = Einheitsmatrix
> Für F [mm]\in[/mm] Endomorphsmus(V) und [mm]\lambda \in[/mm] K ist
> Zu zeigen_:
> [mm]\lambda[/mm] ist ein Eigenwert von F <=> det(F - [mm]\lambda[/mm] * I)
>
> Bew: F(v) = [mm]\lambda[/mm] * v
> <=> F(v) - [mm]\lambda[/mm] *v = 0
> <=> (F - [mm]\lambda[/mm] I )(v) = 0 // wegen Linearität
> <=> Ker(F - [mm]\lambda[/mm] I ) != {0} //nach Definition des
> Kerns
> <=> Image(F - [mm]\lambda[/mm] I) != V //nach Dimensionsformel
> <=> rang(F - [mm]\lambda[/mm] I) < dimV // nach Definition des
> Rangs
> <=> det (F - [mm]\lambda[/mm] I ) = 0
>
> [mm]\lambda[/mm] ist ja nun ein Eigenvektor.
> bezeichnet man hier nun mit v einen Eigenvektor?
Genau!
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> "F(v) - [mm]\lambda[/mm] *v = 0
> <=> (F - [mm]\lambda[/mm] I )(v) = 0 // wegen Linearität"
>
> warum darf man das so schreiben ist z.b. F(v) + F(w) =
> F(v+w) falls F lin. ist klar, aber warum darf man (F -
> [mm]\lambda[/mm] I )(v) statt F(v) - [mm]\lambda[/mm] *v schreiben?
$ F(v) - [mm] \lambda [/mm] *v = [mm] F(v)-\lambda*I(v) [/mm] = [mm] (F-\lambda [/mm] I)(v) $
>
> der rest des Bwewis ist klar.
>
> Noch eine kurze Frage zur Determinante.
> Gegeben sei eine nxn Matrix A
> vertausche ich nun 2 Zeilen und nenne diese Matrix B dann
> ist det(A) = -det(B), soweit so gut
> darf ich in dieser Matrix nun auch zwei Spalten
> vertauschen, eigentlich ja, dann würde sich das vorzeichen
> aber auch wieder ändern?
Genau, denn:
[mm] det(A^t)=det(A)=-det(B)=-det(B^t)
[/mm]
Somit ist es egal, ob Zeilen oder Spalten getauscht werden.
Gruß Patrick
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Hallo Patrick,
> Hallo!
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> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Beschäftige mich gerade mit Eigenwerten und Eigenvektoren
> > und habe Schwierigkeiten bei folgendem Beweis:
> >
> > I = Einheitsmatrix
> > Für F [mm]\in[/mm] Endomorphsmus(V) und [mm]\lambda \in[/mm] K ist
> > Zu zeigen_:
> > [mm]\lambda[/mm] ist ein Eigenwert von F <=> det(F - [mm]\lambda[/mm] *
> I)
> >
> > Bew: F(v) = [mm]\lambda[/mm] * v
> > <=> F(v) - [mm]\lambda[/mm] *v = 0
> > <=> (F - [mm]\lambda[/mm] I )(v) = 0 // wegen Linearität
> > <=> Ker(F - [mm]\lambda[/mm] I ) != {0} //nach Definition des
> > Kerns
> > <=> Image(F - [mm]\lambda[/mm] I) != V //nach Dimensionsformel
> > <=> rang(F - [mm]\lambda[/mm] I) < dimV // nach Definition des
> > Rangs
> > <=> det (F - [mm]\lambda[/mm] I ) = 0
> >
> > [mm]\lambda[/mm] ist ja nun ein Eigenvektor.
> > bezeichnet man hier nun mit v einen Eigenvektor?
>
> Genau!
> >
> > "F(v) - [mm]\lambda[/mm] *v = 0
> > <=> (F - [mm]\lambda[/mm] I )(v) = 0 // wegen Linearität"
> >
> > warum darf man das so schreiben ist z.b. F(v) + F(w) =
> > F(v+w) falls F lin. ist klar, aber warum darf man (F -
> > [mm]\lambda[/mm] I )(v) statt F(v) - [mm]\lambda[/mm] *v schreiben?
>
> [mm]F(v) - \lambda *v = F(v)-\lambda*I(v) = (F-\lambda I)(v)[/mm]
Wenn I die Einheitsmatrix beschreibt und F einen Endo, was steht dann da? Was ist [mm] $F-\lambda [/mm] I$ ?
Und was meinst du mit $I(v)$? [mm] $I\cdot{}v$ [/mm] ?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Fr 02.01.2009 | | Autor: | farnold |
danke, das mit den Eigenwerte hab ich nun -denke ich - einigermaßen verstanden.
jetzt wurde beu uns 2 neue Begriffe eingeführt, einmal "F-Invariant".
Sei dazu F: V -> V Endo. und W [mm] \subset [/mm] V ein UVR. W heißt invariant, wenn F(W) [mm] \subset [/mm] W ist.
also wenn ich elemente in W abbilde landen diese wieder in W, soweit is ja auch noch alles klar.
Ist F diag.bar und eine Basis aus eigenvektoren wird gebildet aus [mm] (v_{1} [/mm] ... [mm] v_{n})
[/mm]
dann ist V = [mm] W_{1} [/mm] + ... + [mm] W_{n} [/mm] mit [mm] W_{i} [/mm] = [mm] K*v_{i}
[/mm]
Diese [mm] W_{i} [/mm] sind ja nun "F-invarian", aber warum sind sie das?
Ist nun z.B. auch [mm] "W_{1} [/mm] + [mm] W_{2}" [/mm] F-invariant?
Jetzt haben wir aufgeschrieben, dass im Falle mehrere Eigenwerte eine Zerlegung V = [mm] Eig(F;\lamda_{1}),...,Eig(F;\lamda_{k})
[/mm]
nun ist es ja so, das ein Eigenraum eine dimension >= 1 haben kann.
Ist nun jeder Eigenraum F-Invariant, eigentlich ja?
Hat ein Eigenraum z.B die Dimension 3 (besteht also aus 3-l.u. Eigenvektoren). Sei nun ein UVR der nur aus einem von 3 l.u. Eigenvektoren F_Invariant?
Der 2. Begriff heißt Fahne:
[mm] V_{0} \subset V_{1} \subset [/mm] .... [mm] V_{n} \subset [/mm] = V
[mm] V_{0} [/mm] Befestigungspunkt
[mm] V_{1} [/mm] Stange
[mm] V_{3} [/mm] Tuch
was sind [mm] V_{i} [/mm] für Basen, könnte man das vll anhand eines Beispiels erklären, bzw. inwiefern hat das was mit Triagonalisieren zu tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 So 04.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Ist F diag.bar und eine Basis aus eigenvektoren wird
> gebildet aus [mm](v_{1}[/mm] ... [mm]v_{n})[/mm]
> dann ist V = [mm]W_{1}[/mm] + ... + [mm]W_{n}[/mm] mit [mm]W_{i}[/mm] = [mm]K*v_{i}[/mm]
> Diese [mm]W_{i}[/mm] sind ja nun "F-invarian", aber warum sind sie
> das?
[mm] $$W_i [/mm] = [mm] Kv_i, [/mm] \ also \ [mm] F(W_i) [/mm] = [mm] F(Kv_i) [/mm] = [mm] K(F(v_i)) [/mm] = [mm] K(\lambda_iv_i) [/mm] = [mm] K(v_i), [/mm] \ falls \ [mm] \lambda_i \not= [/mm] 0.$$
> Ist nun z.B. auch [mm]"W_{1}[/mm] + [mm]W_{2}"[/mm] F-invariant?
Analoge Rechnung.
> Jetzt haben wir aufgeschrieben, dass im Falle mehrere
> Eigenwerte eine Zerlegung V =
> [mm]Eig(F;\lamda_{1}),...,Eig(F;\lamda_{k})[/mm]
> nun ist es ja so, das ein Eigenraum eine dimension >= 1
> haben kann.
> Ist nun jeder Eigenraum F-Invariant, eigentlich ja?
Folgt aus Obigem.
> Hat ein Eigenraum z.B die Dimension 3 (besteht also aus
> 3-l.u. Eigenvektoren). Sei nun ein UVR der nur aus einem
> von 3 l.u. Eigenvektoren F_Invariant?
Den Satz verstehe ich nicht ganz - die Grammatik ist verkorkst ^^
Meinst du einen UVR U, welcher nur von einem der drei EW aufgespannt wird?
Der ist F-invariant (haben wir oben nachgerechnet).
> Der 2. Begriff heißt Fahne:
> [mm]V_{0} \subset V_{1} \subset[/mm] .... [mm]V_{n} \subset[/mm] = V
> [mm]V_{0}[/mm] Befestigungspunkt
> [mm]V_{1}[/mm] Stange
> [mm]V_{3}[/mm] Tuch
>
> was sind [mm]V_{i}[/mm] für Basen, könnte man das vll anhand eines
> Beispiels erklären, bzw. inwiefern hat das was mit
> Triagonalisieren zu tun?
Ich kenne das so:
Die [mm] V_i [/mm] sind UVR, wobei die Inklusionen jedesmal echt sind, d.h. die Dimension vergrößert sich bei jedem Schritt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:11 Mi 07.01.2009 | | Autor: | farnold |
ok, erstmal vielen dank für deine antowrt :)
> V = $ [mm] Eig(F;\lamda_{1}),...,Eig(F;\lamda_{k}) [/mm] $
das gilt aber nur, wenn die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen entspricht, oder?
falls ja dann ist :
$ [mm] W_{1} [/mm] $ + ... + $ [mm] W_{n} [/mm] $ = $ [mm] Eig(F;\lamda_{1}),...,Eig(F;\lamda_{k}) [/mm] $ ?
Bei der Trigonalisierung ist es ja nun so, dass um eine Matrix trigonalisieren zu können, nur das charateristische Polynom zerfallen muss, heißt das, dass die geometrische Vielfachheit nicht der algebraischen entsprechen muss, man die Matrix/den Endo. dennoch trigonalisieren kann?
Sei F:V->V
Heißt das weiter, dass ich unter Umständen mit den Eigenvektoren einer Matrix bei der die geometrische Vielfachheit nicht der algebraischen entspricht, ich mit den EV nicht V aufspannen kann?
Diese Matrix ist dann aber dennoch triag.bar, falls eben das char. Polynom vollständig zerfällt?
Wenn ich nun eine Matrix trigonalisieren möchte, nutze ich dann dazu eine "aufsteigende Kette", "Fahne" $ [mm] V_{0} \subset V_{1} \subset [/mm] $ .... $ [mm] V_{n} \subset [/mm] $ = V
oder habe ich diese Begriffe nur zum Beweisen für irgendwas gebraucht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 09.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo farnold,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Beschäftige mich gerade mit Eigenwerten und Eigenvektoren
> und habe Schwierigkeiten bei folgendem Beweis:
>
> I = Einheitsmatrix
> Für F [mm]\in[/mm] Endomorphsmus(V) und [mm]\lambda \in[/mm] K ist
> Zu zeigen_:
> [mm]\lambda[/mm] ist ein Eigenwert von F <=> det(F - [mm]\lambda[/mm] * I)
??? da fehlt wohl ein $=0$
>
> Bew: F(v) = [mm]\lambda[/mm] * v
> <=> F(v) - [mm]\lambda[/mm] *v = 0
> <=> (F - [mm]\lambda[/mm] I )(v) = 0 // wegen Linearität
?? was ist denn das für ein Gebilde? Du subtrahierst von einem Endomorphismus eine Matrix?
Du kannst doch einen Endo durch eine quadratische Matrix A beschreiben
Dann klappt das auch mit dieser Umformung und du bekommst [mm] $det(A-\lambda [/mm] I)=0$
Wenn du's mit Abbildungen schreibst, steht da m.E Unsinn
Schiebe mal die identische Abbildung dazwischen, also $v=id(v)$ ...
> <=> Ker(F - [mm]\lambda[/mm] I ) != {0} //nach Definition des
> Kerns
> <=> Image(F - [mm]\lambda[/mm] I) != V //nach Dimensionsformel
> <=> rang(F - [mm]\lambda[/mm] I) < dimV // nach Definition des
> Rangs
> <=> det (F - [mm]\lambda[/mm] I ) = 0
>
> [mm]\lambda[/mm] ist ja nun ein Eigenvektor.
> bezeichnet man hier nun mit v einen Eigenvektor?
>
> "F(v) - [mm]\lambda[/mm] *v = 0
> <=> (F - [mm]\lambda[/mm] I )(v) = 0 // wegen Linearität"
>
> warum darf man das so schreiben ist z.b. F(v) + F(w) =
> F(v+w) falls F lin. ist klar, aber warum darf man (F -
> [mm]\lambda[/mm] I )(v) statt F(v) - [mm]\lambda[/mm] *v schreiben?
>
> der rest des Bwewis ist klar.
Mir ist schon der Anfang nicht klar ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
LG
schachuzipus
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