Eigenwert/-funktion RWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Mi 12.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Iegenwerte sowie die zugehörigen Eigenfunktionen der folgenden Randwertaufgaben:
a) [mm] $u''+\lambda [/mm] u [mm] =0,\; u(0)=u'(0),\;u(1)=0,$
[/mm]
b) [mm] $u''+\lambda u=0,\; u(0)=u(1),\; [/mm] u'(0)=-u'(1)$ |
Guten Abend zusammen,
ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu bearbeiten.
Zuerst habe ich die Differentialgleichungen in die 1. Ordnung gebracht:
a) [mm] $u''=-\lambda [/mm] u$
[mm] $y_1:=u,\; y_2:=u', \; y_3:=\lambda$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y_1'=y_2$
[/mm]
[mm] $y_2'=-y_3y_1$
[/mm]
[mm] $y_3'=0$
[/mm]
[mm] $y_1(0)=y_2(0),\; y_1(1)=0$
[/mm]
b) [mm] $u''=-\lambda [/mm] u$
[mm] $y_1:=u,\; y_2:=u', \; y_3:=\lambda$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y_1'=y_2$
[/mm]
[mm] $y_2'=-y_3y_1$
[/mm]
[mm] $y_3'=0$
[/mm]
[mm] $y_1(0)=y_1(1),\;y_2(0)=-y_1(1)$
[/mm]
Jedoch weiß ich leider nicht weiter.
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Vielen, vielen Dank
Liebe Grüße
Bäumchen
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Hallo DerBaum,
> Berechnen Sie die Iegenwerte sowie die zugehörigen
> Eigenfunktionen der folgenden Randwertaufgaben:
> a) [mm]u''+\lambda u =0,\; u(0)=u'(0),\;u(1)=0,[/mm]
> b)
> [mm]u''+\lambda u=0,\; u(0)=u(1),\; u'(0)=-u'(1)[/mm]
> Guten Abend
> zusammen,
>
> ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu bearbeiten.
> Zuerst habe ich die Differentialgleichungen in die 1.
> Ordnung gebracht:
>
> a) [mm]u''=-\lambda u[/mm]
> [mm]y_1:=u,\; y_2:=u', \; y_3:=\lambda[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y_1'=y_2[/mm]
> [mm]y_2'=-y_3y_1[/mm]
> [mm]y_3'=0[/mm]
> [mm]y_1(0)=y_2(0),\; y_1(1)=0[/mm]
>
> b) [mm]u''=-\lambda u[/mm]
> [mm]y_1:=u,\; y_2:=u', \; y_3:=\lambda[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y_1'=y_2[/mm]
> [mm]y_2'=-y_3y_1[/mm]
> [mm]y_3'=0[/mm]
> [mm]y_1(0)=y_1(1),\;y_2(0)=-y_1(1)[/mm]
>
> Jedoch weiß ich leider nicht weiter.
> Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
>
Bestimme doch zunächst die Lösungen
der DGLn in a) und b) in Abhängigkeit von dem Parameter [mm]\lambda[/mm].
Dann kannst Du mit Hilfe der Randbedingungen die Eigenfunktionen ermitteln.
> Vielen, vielen Dank
>
> Liebe Grüße
> Bäumchen
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mi 12.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
Hallo MathePower,
vielen Dank für deine Antwort.
> Hallo DerBaum,
>
>
> Bestimme doch zunächst die Lösungen
> der DGLn in a) und b) in Abhängigkeit von dem Parameter
> [mm]\lambda[/mm].
Das habe ich nun versucht:
a) Hier habe ich für die allgemeine Lösung des RWP heraus:
[mm] $u(t)=C_1*cos(\sqrt{\lambda}*t)+C_2*\sin(\sqrt{\lambda}*t)$
[/mm]
Mit der Randbedingung $u(0)=u(1)$ folgt:
[mm] $C_1=C_2$
[/mm]
Mit der Randbedingung $u(1)=0$ folgt:
[mm] $C_1*(\cos(\sqrt{\lambda})+\sin(\sqrt{\lambda}))=0$
[/mm]
Da [mm] $C_1\neq [/mm] 0$, da u ja sonst die triviale Lösung u=0 wäre, gilt:
[mm] $\cos(\sqrt{\lambda})+\sin(\sqrt{\lambda})=0 \gdw \cos(\sqrt{\lambda})=-\sin(\sqrt{\lambda})\qquad |*(-\frac{1}{\cos(\sqrt{\lambda})})$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{\sin(\sqrt{\lambda})}{\cos(\sqrt{\lambda})}=\tan(\sqrt{\lambda})=-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda =((4k-1)*\frac{\pi}{4})^2, \qquad k\in\mathbb{Z}$
[/mm]
Und die Eigenfunktionen:
[mm] $u_\lambda [/mm] = [mm] C_1*(\cos(\sqrt{\lambda}*t)+\sin(\sqrt{\lambda}*t))$
[/mm]
Stimmt das so?
Muss ich die Eigenfunktion mit dem Eigenwert in Abhängigkeit von k ausdrücken?
Vielen Dank für die Hilfe
Liebe Grüße
DerBaum
>
> Dann kannst Du mit Hilfe der Randbedingungen die
> Eigenfunktionen ermitteln.
>
>
> > Vielen, vielen Dank
> >
> > Liebe Grüße
> > Bäumchen
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo MathePower,
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> > Hallo DerBaum,
> >
> >
> > Bestimme doch zunächst die Lösungen
> > der DGLn in a) und b) in Abhängigkeit von dem
> Parameter
> > [mm]\lambda[/mm].
> Das habe ich nun versucht:
>
> a) Hier habe ich für die allgemeine Lösung des RWP
> heraus:
> [mm]u(t)=C_1*cos(\sqrt{\lambda}*t)+C_2*\sin(\sqrt{\lambda}*t)[/mm]
richtig
> Mit der Randbedingung [mm]u(0)=u(1)[/mm] folgt:
oben stand u(0)=u'(0)
> [mm]C_1=C_2[/mm]
das folgt weder aus der einen noch der anderen Dgl-
[mm] u'(0)=\wurzel{\lambda}*C_2
[/mm]
> Mit der Randbedingung [mm]u(1)=0[/mm] folgt:
> [mm]C_1*(\cos(\sqrt{\lambda})+\sin(\sqrt{\lambda}))=0[/mm]
> Da [mm]C_1\neq 0[/mm], da u ja sonst die triviale Lösung u=0
immerhin ist das eine legale Lösung des AWP!
> wäre, gilt:
> [mm]\cos(\sqrt{\lambda})+\sin(\sqrt{\lambda})=0 \gdw \cos(\sqrt{\lambda})=-\sin(\sqrt{\lambda})\qquad |*(-\frac{1}{\cos(\sqrt{\lambda})})[/mm]
>
> [mm]$\gdw \frac{\sin(\sqrt{\lambda})}{\cos(\sqrt{\lambda})}=\tan(\sqrt{\lambda})=-1[/mm]
aber [mm] \lambda [/mm] ist doch eine gegebene Größe?
> [mm]\Rightarrow \lambda =((4k-1)*\frac{\pi}{4})^2, \qquad k\in\mathbb{Z}$[/mm]
>
> Und die Eigenfunktionen:
> [mm]u_\lambda = C_1*(\cos(\sqrt{\lambda}*t)+\sin(\sqrt{\lambda}*t))[/mm]
die Eigenfunkt sind : [mm] \cos(\sqrt{\lambda}*t) [/mm] und [mm] \sin(\sqrt{\lambda}*t)
[/mm]
> Stimmt das so?
eigentlich solltest du wohl das Dgl System aufstellen, dabei hast du nur den Fehler gemacht ein [mm] y_3 [/mm] einzuführen. es ist
y1=u
[mm] y_2=u'
[/mm]
System;
[mm] y_1'=y_2
[/mm]
[mm] y_2'=-\lambda*y_1
[/mm]
was du leicht als y'=A*y schreiben kannst.
> Muss ich die Eigenfunktion mit dem Eigenwert in
> Abhängigkeit von k ausdrücken?
nein, du kannst nur fesstellen, dass es nur für ein bestimmtes [mm] \lambda [/mm] eine Lösung [mm] u\neß [/mm] gibt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Do 13.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Oh, da war ich ja auf dem Holzweg.
Also ich weiß, was ich bei den Randbedingungen falsch gemacht habe.
Nun habe ich heraus:
Mit Randbedingung $u(0)=u'(0)$
$C_1=\sqrt{\lambda}*C_2$
Und mit Randbedingung $u(1)=0$:
$C_2*(\sqrt{\lambda}*\cos(\sqrt{\lambda}}+\sin(\sqrt{\lambda}})=0$
Hier meinte ich, da wir ja nicht triviale Lösungen des RWP suchen, kann ich hier ja das $C_2$ kürzen, da wenn $C_2=0$ gilt, u immer die triviale Lösung 0 ist, oder nicht?
Jetzt erhalte ich aber:
$\sqrt{\lambda}*\cos(\sqrt{\lambda})+sin(\sqrt{\lambda})=0$
Was ich ja nicht wirklich lösen kann.
Oder muss ich das gar nicht?
Vielen Dank
Liebe Grüße
DerBaum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
$ C_2\cdot{}(\sqrt{\lambda}\cdot{}\cos(\sqrt{\lambda}}+\sin(\sqrt{\lambda}})=0 $
a)C_2=0 folgt u=0
oder (\sqrt{\lambda}\cdot{}\cos(\sqrt{\lambda})+\sin(\sqrt{\lambda})=0
was für einige wenige \lambda die man nur numerisch bestimmen kann etwa wolfram alpha : solve tanx=-x
sonst hast du eben raus, dass u=0 die einzige Lösung ist
u ist auf jeden Fall eine Lösung mit Periode 2\pi/\sqrt{\lambda} also kannst du u(0)=u(1) nur mit dieser Periode jaben. Da man auch zusammenfassen kan u=A*sin(\sqrt{\lambda}*t+\phi) noch eine weitere Lösung
aber für fast alle \lambda ist die einzig mögliche Kösung u=0
(war \lambda>0 gegeben, sonst hast du noch exp. funktion als Lösung)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Do 13.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
Hallo leduart
vielen Dank für deine Antwort.
> Hallo
>
> [mm]C_2\cdot{}(\sqrt{\lambda}\cdot{}\cos(\sqrt{\lambda}}+\sin(\sqrt{\lambda}})=0[/mm]
> [mm]a)C_2=0[/mm] folgt u=0
> oder
> [mm](\sqrt{\lambda}\cdot{}\cos(\sqrt{\lambda})+\sin(\sqrt{\lambda})=0[/mm]
> was für einige wenige [mm]\lambda[/mm] die man nur numerisch
> bestimmen kann etwa wolfram alpha : solve tanx=-x
Muss ich diese hier bestimmen?
Kann ich mir eigentlich nicht vorstellen, aber irgendwie muss ich ja die Eigenwerte bestimmen...
> sonst hast du eben raus, dass u=0 die einzige Lösung ist
> u ist auf jeden Fall eine Lösung mit Periode
> [mm]2\pi/\sqrt{\lambda}[/mm] also kannst du u(0)=u(1) nur mit dieser
Warum u(0)=u(1)?
Meinst du u(1)=0?
> Periode jaben. Da man auch zusammenfassen kan
> [mm]u=A*sin(\sqrt{\lambda}*t+\phi)[/mm] noch eine weitere Lösung
> aber für fast alle [mm]\lambda[/mm] ist die einzig mögliche
> Kösung u=0
> (war [mm]\lambda>0[/mm] gegeben, sonst hast du noch exp. funktion
> als Lösung)
Nein, [mm] $\lambda [/mm] >0$ war nicht gegeben.
Wie erhalte ich hier die Exp.fkt.?
Und wie meintest du das in deiner letzten Antwort das mit dem DGL System.
Ich habe es mal versucht:
[mm] $y'=\pmat{0&1\\-\lambda&0}*y$
[/mm]
Für das char. Pol. erhalte ich [mm] $\mathcal{X}(\lambda)=\lambda^2+\lambda$ [/mm] und somit die Eigenwerte [mm] $\lambda_1=0, \lambda_2=-1$
[/mm]
Ist es so besser/bzw einfach die Aufgabe zu lösen?
Ich verstehe leider noch nicht ganz, wie ich das dann alles aufschreiben soll, also ob ich eben die Eigenwerte wie oben gesagt numerisch bestimmen soll oder ob es reicht zu sagen, Eigenwerte sind Lösung von tanx=-x.
> Gruss leduart
>
Vielen Dank
Liebe Grüße
Baum
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein A ist richtig, aber du hast dich verwirren lassen, weil man die Eigenwerte oft auch [mm] \lambda [/mm] nennt
[mm] det(A-\tau*I)=0
[/mm]
führt zu [mm] \tau^2_\lambda=0 \tau [/mm] =Eigenwert. und damit zu [mm] \tau=\pm\sqrt{-lambda} [/mm] was du eigentlich auch aus der Lösung weisst.
falls [mm] \lambda [/mm] >0 führt das zu [mm] \tau=\pm i*\sqrt{\lambda}
[/mm]
und den Lüsungen [mm] e^{i*\sqrt{\lambda}*t} [/mm] und [mm] e^{-i\sqrt{\lambda}*t} [/mm] aus denen man sin und cos linear kombinieren kann
falls [mm] \lambda<0 [/mm] zu [mm] \tau=\sqrt{-\lambda} [/mm] und den Lösungen [mm] e^{\sqrt{-\lambda}*t} [/mm] und [mm] e^{-\sqrt{-\lambda}*t}
[/mm]
und nochmal
die [mm] \lambda [/mm] sind vorgegebene Zahlen- hier allgemein-, für die kann man keine Bedingungen angeben!
du kannst nur sagen_ i.A, gibt es zu den RW nur die Lösung u=0
nur falls gilt [mm] -\sqrt{\lambda}=tan(\sqrt{\lambda}) [/mm] gibt es Lösungen mit beliebigem C1 und [mm] C2=C1/\sqrt{\lambda}
[/mm]
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Mi 12.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
So, ich habe mich nun auch an der b) versucht.
Wir haben wie bei der a):
[mm] $u(t)=C_1*\cos(\sqrt{\lambda}*t)+C_2*\sin(\sqrt{\lambda}*t)$
[/mm]
Mit den Randbedingungen erhalten wir:
[mm] $C_1=C_1*\cos(\sqrt{\lambda})+C_2*\sin(\sqrt{\lambda})$
[/mm]
Hier die erste Frage, kann ich hier einfach annehmen, dass die obere Gleichung nur gilt für [mm] $\cos(\sqrt{\lambda})=1, \sin(\sqrt{\lambda})=0$?
[/mm]
Das habe ich nämlich gemacht.
Daraus folgt.
[mm] $\lambda=\begin{cases} 2k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}\\ (4k-1)*\frac{\pi}{2}\qquad k\in\mathbb{Z}\end{cases}$
[/mm]
Oder ist das hier falsch?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Bäumchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein das kannst du nicht annehmen, vorallem weil es dir ja wieder eine i.A. falsche gl für [mm] \lambda [/mm] gibt. [mm] \lambda [/mm] kann doch jede reelle Zahl sein, 1 oder 100 oder [mm] \pi^2 [/mm] oder....
eine Lösung ist wieder u=0
ob es noch eine gibt musst du durch einsetzen der 2 ten Bed. sehen.
gruss leduart
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