Eigenwert & Eigenvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:40 Mo 13.12.2004 | | Autor: | nadine19 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich hoffe die Frage ist nicht zu doof - aber auch ich will PISA "den Kampf" ansagen  Und ich hoffe ich habe alles richtig gemacht (wie die Regel mit dem ersten Satz & das Verwenden des Formelsystems).
Ich soll die Eigenwerte und die Eigenvektoren dieser Matrix bestimmen:
[mm] \pmat{ 4 & 0 & 1\\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 4}
[/mm]
Als Determinante bekomme ich:
- [mm] \lambda^{3} [/mm] + 12 [mm] \lambda^{2} [/mm] - 47 [mm] \lambda [/mm] + 60
raus, durch Probieren fand ich heraus, dass 3 eine Lösung ist und nach einer Polynomdivision durch ( [mm] \lambda [/mm] - 3 ) erhält man [mm] -x^{2} [/mm] +9x = 20; d.h. weitere Lösungen sind: 4 und 5 meiner Rechnung nach.
Die Eigenwerte wären also bestimmt. Mein Problem ist jetzt, dass ich die Eigenvektoren nicht berechnen kann. Ich verstehe die vielen tollen lustigen Zeichen im Skriptum und in den sieben aufgeschlagenen Büchern von mir einfach nicht, schaut zwar alles lustig aus, aber ich habe keine Ahnung wie ich das rechnerisch anwenden könnte! :-(
Ich bitte euch daher um Hilfe - nett wäre, wenn mir jemand die Berechnung *eines* (die restlichen zwei möchte ich als Übung dann gleich übernehmen *gg*) Eigenvektors mit einem der drei Eigenwerte wie bspweise 3 zeigen könnte - aber bitte wenn möglich nicht zuviele Schritte überspringen, weil genau das macht mir bei meinen Unterlagen auch Kopfzerbrechen. Ich sehe einfach nicht wie man von den Zahlen die dastehen systematisch zu dem Ergebnis kommen würde.
Vorab Danke!!
PS: Ist ein euklidischer Vektorräum gleichzusetzen mit einem unitären Vektorraum oder sind das zwei verschiedene Handschuhe?
PPS: Wenn ich den Sinn der "Fälligkeit des Artikels"-Option richtig verstanden habe, dann sollte mein "48 Stunden" Eintrag passen - allerdings ist es so, dass ich an der Lösung grundsätzlich immer interessiert bin - ob heute oder in sechs Monaten - hauptsache ich weiß es!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Mo 13.12.2004 | | Autor: | nadine19 |
Hallo!
Im Grunde genommen ist es für mich noch immer die reinste Mystik, aber folgendes meine ich jetzt verstanden zu haben bei der Eigenvektor Berechnung:
1) Ziehe an der Hauptdiagonale jeweils einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ab.
2) Wende das Gauß'sche Eliminationsverfahren auf diese Matrix an.
3) Finde irgendwelche geeigneten Werte die die Gleichung Matrix = 0 erfüllen. Das ist dann dein Eigenvektor.
Vorallem Punkt 3 scheint mir mehr mit Raten zu tun zu haben, als mit der Berechnung von irgendetwas.... :-(
Angewandt auf mein Beispiel komme ich zu:
Matrix A = [mm] \pmat{ 4 & 0 & 1\\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 4} [/mm]
Eigenwert [mm] \lamda_{3} [/mm] sei 5
1) Abziehen von 5 von von den Diagonalelementen:
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1} [/mm]
2) Gauß'sche Eliminationsverfahren:
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
3) Komisch herumraten:
v3 = (1, 1, 1) erfüllt jeweils:
-1x + 0y + 1z = 0
0x + -1y + 1z = 0
0x + 0y + 0z = 0
also ist das ein Eigenvektor, wenn ich das Ganze richtig verstanden hätte. Nur hieße das dann ja, dass es unendlich viele andere Eigenvektoren wie etwa (100, 100, 100) auch gäben würde. (Sind alle richtig?)
Ich habe jetzt wohl einen Fehler gemacht - ich habe Mitteilung beim Posten gewählt, würde allerdings trotzdem gerne hier als Bitte anbringen, dass mir jemand mitteilt, dass meine Ergebnisse (Eigenwerte: 3, 4, 5 und die entsprechenden Eigenvektoren: v1 = (1, 1, -1), v2 = (0, 0, 0), v3 = (1, 1, 1)) bzw meine hier angeführte Methode stimmen.
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Floyd |
hallo!
A = [mm] \pmat{ 4 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 4 }
[/mm]
Die Eigenwerte erhält man durch das charakteristische Polynom.
det(A-tI) I..Einheitsmatrix
[mm] \vmat{ 4-t & 0 & 1 \\ 0 & 4-t & 1 \\ 1 & 0 & 4-t } [/mm] =
[mm] (4-t)+((4-t)^2-1)=
[/mm]
-(t-5)*(t-4)*(t-3)
Daraus ergeben sich die Eigenwerte und die Vielfachheiten
Eigenwerte: 5, 4, 3
zugehörige Vielfachheiten: 1, 1, 1
Eigenvektoren für EW 5:
Ax=5x
(A-5I)=0
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 } \mapsto
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }x=0
[/mm]
Lösung x = [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] *t
Eigenvektoren für EW 4:
Ax=4x
(A-4I)=0
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 } \mapsto
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }x=0
[/mm]
Lösung x = [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] *t
Eigenvektoren für EW 3:
Ax=3x
(A-3I)=0
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 } \mapsto
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }x=0
[/mm]
Lösung x = [mm] \pmat{ -1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] *t
Somit gilt:
T = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
T^(-1)*A*T = [mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 }
[/mm]
mfg
Floyd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mo 13.12.2004 | | Autor: | nadine19 |
Hallo Floyd!
Vielen Dank erstmal für die nette und rasche Antwort!
Ich habe meine Lösungsergebnisse leider ungeschickterweise als Mitteilung gepostet - in Teilen scheine ich richtig gelegen zu haben - in Teilen möchte ich nochmal kurz rückfragen...
Die Eigenwerte stimmen bei uns überein; 5, 4, 3
Der Eigenvektor für [mm] \lambda [/mm] = 5 => [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] auch.
Ich habe als Eigenvektor für [mm] \lambda [/mm] = 4 => [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] - du hast [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}.
[/mm]
Und schließlich habe ich für [mm] \lambda [/mm] = 3 => [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1} [/mm] - du hast [mm] \vektor{ -1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Meine Frage wäre nun: Sind in den letzten beiden Fällen nicht beide Varianten richtig?
Wenn ich es nämlich richtig verstanden habe, wie man zu dem Eigenvektor kommt, dann muss die Matrix (für EW = 3)
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }x=0
[/mm]
als Gleichung erfüllt werden, also man muss für die linke Seite Werte finden die die rechte Seite (=0) erfüllen. (Stimmt das?) Und das hieße dann ja, dass es mehrere Möglichkeiten gibt. Oder gibt es da immer nur eine richtige Lösung - wenn ja, woher weiß ich, dass deine stimmt und nicht meine?
Nochmal vielen vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Floyd |
hallo!
bei [mm] \lambda [/mm] = 3 wären die zwei Ergebnisse gleich.
denn es gehen alle Lösungen für [mm] \pmat{ -1 \\ -1 \\ 1 }*t
[/mm]
somit auch für t=(-1)
bei [mm] \lambda [/mm] = 4 sind die beiden Lösungen meiner meinung nach nicht äquivalent.
Weiters wäre die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1}
[/mm]
singulär.
Somit könnte man die Matrix nicht diagonalisieren.
[T^(-1)*A*T nicht möglich]
mfg
Floyd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Di 14.12.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ich wollte nur noch kurz meinen Senf dazu geben und daran erinnern, dass der Nullvektor
[mm] $\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
niemals ein Eigenvektor sein kann. Weil sonst nach der Definition für Eigenwerte und Eigenvektoren jedes [mm] $\lambda \in [/mm] K$ ein Eigenwert zum entsprechenden Endomorphismus wäre, denn jedes [mm] $\lambda \in [/mm] K$ erfüllt die Gleichung:
$F(0) = [mm] \lambda \cdot [/mm] 0$,
wobei hier die 0 jeweils der Nullvektor des Vektorraumes V sein soll, wenn $F [mm] \in \End(V)$ [/mm] von V als K-Vektorraum.
Gruß Micha 
|
|
|
|
