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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 So 29.04.2012 | | Autor: | sissile |
Das es ein Eigenvektor ist habe ich gezeigt(führe ich hier nicht extra an), aber wie geht das mit dem Eigenwert?
Ich bin nach der Suche nach dem [mm] \lambda
[/mm]
[mm] D(f_\lambda) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] f_\lambda
[/mm]
[mm] f'_\lambda [/mm] = [mm] \lambda f_\lambda
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] eigenwert
<=>
det (D - [mm] \lambda id_v [/mm] ) =0
det (Ableitung einer Funktion - [mm] \lambda id_v [/mm] )=0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Sei I [mm] \subseteq \IR [/mm] ein offenes Intervall, betrachte den Vektorraum V der
> glatten funktionen und bezeichne D:V->V , D(f) := f', den
> ABleitungsoperator.
> Für [mm] \lambda \in \IR [/mm] sei [mm] f_{\lambda} \in [/mm] V, [mm] f_{\lambda} [/mm] := [mm] e^{\lambda x}.
[/mm]
> Zeige, dass [mm] f_\lambda [/mm] eigenvektor von D ist und bestimme den Eigenwert.
Das ist für [mm] $I=\emptyset$ [/mm] falsch... 
> Das es ein Eigenvektor ist habe ich gezeigt(führe ich
> hier nicht extra an), aber wie geht das mit dem Eigenwert?
Dann hast du doch sicherlich [mm] $D(f_\lambda)$ [/mm] bestimmt und einen Term der Form [mm] $\mu*f_\lambda$ [/mm] erhalten, oder? Dann ist [mm] $\mu$ [/mm] der zugehörige Eigenwert.
> Ich bin nach der Suche nach dem [mm]\lambda[/mm]
Nenne es besser [mm] $\mu$, [/mm] denn [mm] $\lambda$ [/mm] ist ja schon als Index von [mm] $f_\lambda$ [/mm] vergeben.
> [mm]D(f_\lambda)[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm]f_\lambda[/mm]
> [mm]f'_\lambda[/mm] = [mm]\lambda f_\lambda[/mm]
Berechne also [mm] $f'_\lambda$!
[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] eigenwert
> <=>
> det (D - [mm]\lambda id_v[/mm] ) =0
> det (Ableitung einer Funktion - [mm]\lambda id_v[/mm] )=0
Beachte, dass V im Falle [mm] $I\not=\emptyset$ [/mm] nicht endlich-dimensional ist und somit Endomorphismen von $V$ gar keine Determinante besitzen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 29.04.2012 | | Autor: | sissile |
Ich habe es so gemacht
ZZ.: [mm] f_\lambda [/mm] Eigenvektor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe es so gemacht
> ZZ.: [mm]f_\lambda[/mm] Eigenvektor
> [mm]D(f_\lambda)[/mm] = [mm]f'_\lambda[/mm] (x) = [mm]\lambda e^{\lambda x}[/mm] =
> [mm]\lambda f_\lambda[/mm] (x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
Also ist [mm] $f_\lambda$ [/mm] Eigenvektor von $D$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 29.04.2012 | | Autor: | sissile |
Hei,
aber ich habe doch gar nicht [mm] \lambda [/mm] bestimmt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> aber ich habe doch gar nicht [mm]\lambda[/mm] bestimmt?
Doch! 
Für jedes [mm] $\blue\lambda\in\IR$ [/mm] ist [mm] $f_\blue\lambda$ [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\blue\lambda$.
[/mm]
Z.B. ist [mm] $f_5$ [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert 5.
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