www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Eigenvalue Problems" - Eigenwert/cg-Verfahren
Eigenwert/cg-Verfahren < Eigenvalue Problems < < University < Maths <
View: [ threaded ] | ^ Forum "Eigenwertprobleme"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials

Eigenwert/cg-Verfahren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 23:00 Di 11/07/2017
Author: knowhow

Aufgabe 1
Aufgabe 1: Gegeben sei die Matrix

[mm] A=\pmat{ 3 & 0&2 \\ 0 & 5&0\\2&0&3 } [/mm]

a) Argumentiern Sie mithilfe des Satzes von Gershgorin, dass für die EW [mm] \lambda_A [/mm] von A gilt:

[mm] \lambda_A \in [/mm] [1,5]

b) Zur genaueren Bestimmung der EW soll nun der QR-Algorithmus mit einfachem Shift herangezogen werden. Führe von Hand zwei Iterationen dieses Verfahren für A durch. Was können Sie über die Konvergenz des Algorithmus in diesem speziellen Fall aussagen?


Aufgabe 2
Gegeben sei eine Funktion [mm] f:\IR^6\rightarrow \IR [/mm] via

[mm] f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=\bruch{3}{2}x^2_1+\bruch{5}{2}x^2_2+\bruch{3}{2}x_3^2+2x_1x_3+3x_4^2+5x^2_5+3x_6^2+4x_4x_6-10x_2-20x_5+30, [/mm] deren Minimum mithilfe des cg-Verfahren gefunden werden soll. Ermitteln Sie hierzu bis auf eine Nachkommastellen genau die vierte Iterierte zum Startwert [mm] (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)^T=(1,10,0,2,20,0) [/mm]

Hinweis: Aufgabe 1a)


Hallo,

ich verzeifel fast an diesen Aufgaben und ich hoffe daher, dass ihr mir etwas weiterhelfen könntet.

zu Aufg.1 a)

Der Satz von Gershgorin ist folgend def.:

[mm] K_i=\{\mu\in\IC: |\mu-a_{i,i}| \le \summe_{k\not=i} |a_{i,k}|\} [/mm]

also erhalten wir für [mm] K_1=\{\mu\in\IC: |\mu-3| \le 2\}=[1,5] [/mm]

[mm] K_2=\{\mu\in\IC: |\mu-5| \le 0 \}=[5,5] [/mm]

[mm] K_3=\{\mu\in\IC: |\mu-5| \le 0\}=[1,5] [/mm]

also ist [mm] K_1\cup K_2\cup K_3=[1,5]\cup[5,5]\cup[1,5]=[1,5] [/mm]

Da sich die Kreise berühren, liefert der Kreissatz von Gershgorin, dass alle 3 EWe im Intervall [1,5] liegen.

b) Es sei [mm] A_\mu*I, [/mm] wobei [mm] \mu=a_{33}=3. [/mm] Also haben wir

[mm] A_\mu*I=\pmat{ 3 & 0&2 \\ 0 & 5&0\\2&0&3 }-\pmat{ 3 & 0&0 \\ 0 & 3&0\\0&0&3 }=\underbrace{\pmat{ 0 & 0&2 \\ 0 & 2&0\\2&0&0 }}_{\tilde{A}} [/mm]

[mm] \alpha_1=-2, u_1=\bruch{\vektor{0 \\ 0\\2}+\vektor{2 \\ 0\\0}}{||\vektor{0 \\ 0\\2}+\vektor{2 \\ 0\\0}||}=\bruch{1}{\wurzel{8}}\vektor{2\\0\\2} [/mm]

[mm] Q=I-2u_1u_1^T=\pmat{ 0 & 0&-1 \\ 0 & 1&0\\1&0&0 } [/mm]

[mm] Q\tilde{A}=\underbrace{\pmat{ -2 & 0&0 \\ 0 & 2&0\\0&0&2 }}_{=:R} [/mm]

[mm] A^{(1)}=RQ+\mu*I=\pmat{ 3 & 0&2 \\ 0 & 5&0\\2&0&3 } [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] man erhält somit die Ursprungsmatrix

[mm] \Rtightarrow [/mm] für symmetr. Matrix gibt QR mit Shift keine Aussage über EW.

Stimmt soweit, meine Überlegung zu Aufgabe 1?

Aufg.2

man schreibe f in Matrix. Also erhalten wir:

[mm] f(...)=\bruch{1}{2}x^t\pmat{ 3 & 0&2 &0&0&0\\ 0 & 5&0&0&0&0\\2&0&3 &0&0&0\\0&0&0&6&0&4\\0&0&0&0&10&0\\0&0&0&4&0&2}x-(0,10,0,0,20,0)x+30 [/mm]

Nun bin ich nach den folgenden Schritten vorangegangen: cg-Verfahren

Vor.: [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x^TAx-bx+c [/mm] spd, [mm] \nabla [/mm] f(x)=Ax-b

Start: Wähle [mm] x_0 [/mm] und setze in [mm] r_0=-\nabla f(x_0) [/mm]

also erhalten wir wenn wir den Startwert aus der Aufgabenstellung in [mm] \nabla [/mm] f(x) mit minus einsetzen

[mm] r_0=(-3,-40,-2,-12,-180,-8)^T [/mm]

1. Schritt : da [mm] \nabla f(x_0)\not=0 [/mm] ist, müssen wir weitermachen.

2. Schritt

setze [mm] x_{k+1}:=x_k+\alpha_k*r_k, [/mm] wobei [mm] \alpha=\bruch{||\nabla f(x_k)||^2}{||r_k||_A^2} [/mm]

also in unserem Fall: Ab da wird die Rechnung unschön

also erhalten wir für [mm] \alpha_0=\bruch{r_0^T*r_0}{r_0^T*A*r_0}=\bruch{34.221}{3.295.081}=0,0104 [/mm]

dann bekommen wir für [mm] x_1=\vektor{0,9688\\9,584\\-0,0208\\1,8752\\18,128\\-0,0832} [/mm]

falls ich mich nicht verrechnet habe, was durchaus passiert ist.

Ab da habe ich es aufgegeben weiterzurechnen, da ich wahrscheinlich bis morgen noch dransitzen würde und das für 4 Iterationen, wobei ich die 1. Iteration nicht zuende berechnet bekommen habe aufgrund der unschönen Zahlen.

Dann müssen noch folgende Schritte berechnet werden:

3. Schritt Berechne

[mm] r_{k+1}=-\nabla f(x_{k+1})+\beta_k*r_k, [/mm] wobei [mm] \beta_k=\bruch{||\nabla f(x_{k+1}||^2}{||\nablaf(x_k)||^2} [/mm]

4. Schritt: gehe zu Schritt 1

Mit den Hinweis wissen wir nur, dass die Matrix aus Aufg 1) a) in der Matrix A enthalten ist, somit müssen deren EW in [1,5] liegen. Aber in wie fern bringt mir diese Information weiter.

Gibt es da einen etwas schöneren Weg?

Ich hoffe, Ihr könnt mir da wirklich weiterhelfen.

Vielen Dank im Voraus.



        
Bezug
Eigenwert/cg-Verfahren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 23:20 Sa 15/07/2017
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
View: [ threaded ] | ^ Forum "Eigenwertprobleme"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials


Alle Foren
Status vor 4m 10. fred97
DiffGlGew/Globaler Existenzsatz
Status vor 1h 14m 3. meili
UNum/Skizzieren einer Menge
Status vor 1h 33m 5. Chris84
DiffGlGew/Loesung DGL
Status vor 2h 16m 2. leduart
ZahlTheo/Kleinstes gem. Vielfachaches
Status vor 3h 17m 3. Hela123
UAlgoDatstrukt/Eigenschaften Binärbäume
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de