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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und f [mm] \in [/mm] End(V). Zeigen Sie:
Hat [mm] f^{2} [/mm] + f den Eigenwert -1, so hat [mm] f^{3} [/mm] den Eigenwert 1 |
Bitte einmal gucken ob das richtig ist was ich da gemacht habe und ggf schreiben was falsch ist. Also das habe ich mir gedacht:
Wenn [mm] f^{2} [/mm] + f den EW -1 hat, hat [mm] -f^{2} [/mm] - f den EW 1. Sei [mm] \lambda [/mm] Eigenwert zu Eigenvektor t und A Darstellungsmatrix von f
[mm] \Rightarrow (A^{2} [/mm] + [mm] A)\*t [/mm] = [mm] \lambda [/mm] t , [mm] \lambda [/mm] =-1
[mm] \gdw A^{2}\*t [/mm] + [mm] A\*t [/mm] = -t
[mm] \gdw A^{2}\*t [/mm] = -t - [mm] A\*t
[/mm]
[mm] \gdw A^{3}\*t [/mm] = [mm] -A\*t [/mm] - [mm] A^{2}\*t [/mm] = [mm] -(A^{2} [/mm] + [mm] A)\*t [/mm] = 1
Ist das so korrekt ?
Danke im voraus
Fuffi
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Guten Tach und immer noch frohe Ostern.
Ich denke das deine Lösung korrekt ist. Mir ist zumindest nichts falsches Aufgefallen. Lösung ist Logisch und schlüssig.
Ich würde höchstens der in der letzten Zeile folgendes ändern
$ [mm] \gdw A^{3}*t [/mm] $ = $ -A*t $ - $ [mm] A^{2}*t [/mm] $ = $ [mm] -(A^{2} [/mm] $ + $ A)*t $ = - (-v)= v [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = 1 , aber nur der Form halber.
Frohe Ostern und viel Spaß beim Studieren
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