Eigenwertbeweis < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei P [mm] \in [/mm] End(V) und sei [mm] P^2 [/mm] = P.
Zeigen sie dass P diagonalisierbar ist. |
Guten Tach ich habe diese Frage schon mal gestellt und nu habe ich meinen Übungsleiter gefragt. Mein Beweis geht doch nicht so wie ich will. : (
Also anders. Nun haben wir im vorherigen Semester bewiesen, dass folgende Äquivalenzen gelten
[mm] \ker(P)=\ker(P^2)
[/mm]
Im P [mm] \cap \ker [/mm] P = [mm] 0_{v}
[/mm]
Im P + [mm] \ker [/mm] P = V
ziel der Übung ist es zu beweisen, dass es eine Basis aus Eigenvektoren gibt. In der Aufgabe davor war wurde gezeigt, dass nur 0 und 1 als eigenwert in frage kommen
Nun nun berechne ich Eigenwerte zu 0.
Fall 1: [mm] \Ker(P)={0}. [/mm] Dann ist P injektiv und Null ist kein Eigenwert, P ist die Identität.
Fall 2: [mm] \ker (P)\not={0}. [/mm] Dann ist der Kern maximal n-1 dimensional wenn P nicht die Nullabbildung ist, minimal 1 dimensional
[mm] EW_{1}
[/mm]
Es gilt ja P(v)=w. Nun ist [mm] P^2(v)=w [/mm] weil [mm] P^2=P.
[/mm]
Nun ist P(P(v))=P(w)=P(v)=w.
Also P(w) soll w sein. D.h ja P ist die Id. Also ist v=w.
Also ist das Bild des Eigenraums vom 1 n dimensional wenn P die Identität.
Also ist der Eigenraum n dimensional. Also lässt sich aus dem Oberen äquivalenzen schließen, dass es immer eine Basis aus eigenvektoren gibt. Ist das richtig?
Danke für die Antwort
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
die Sache ist einfach und geht folgendermaßen: Jeden Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ kannst Du schreiben als $v=Pv+(v-Pv)$. Es gilt [mm] P(v-Pv)=Pv-P^2 [/mm] v=0$, d.h. [mm] $v-Pv\in \operatorname{Ker}(P)$ [/mm] und [mm] $V=\operatorname{Im}(P)+\operatorname{Ker}(P)$. [/mm] Ist
[mm] $v=Pw\in \operatorname{Im}(P)\cap\operatorname{Ker}(P)$, [/mm] so $v=Pw=P^2w=Pv=0$. D.h. die Summe [mm] $V=\operatorname{Im}(P)\oplus\operatorname{Ker}(P)=:V_1\oplus V_0$ [/mm] ist direkt. Dann gilt [mm] $PV_1\subseteq V_1$ [/mm] und [mm] $PV_0\subseteq V_0$,$P|_{V_1}=1_{V_1}$ [/mm] und [mm] $P|_{V_0}=0$. [/mm] Also ist $P$ diagonalisierbar. Wenn Du wirklich Eigenvektoren hinschreiben willst, kannst Du einfach Basen von [mm] V_0 [/mm] und [mm] V_1 [/mm] wählen, aber das sollte man aus ästhetischen vielleicht gar nicht tun.
Volker
|
|
|
|
