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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Do 26.01.2006 | | Autor: | d.liang |
Hi,
ich stoße beim ausrechnen von Eigenwerten einer Matrix oft auf das Problem, dass ich anderes Substituiere als es die Muterlösung vorsieht.
Ich zeig das hier mal an einem Beispiel:
[mm] \pmat{ 4- \lambda & 0 & 1 \\ -2 & 1- \lambda & 0 \\ -2 & 0 & 1- \lambda }
[/mm]
Für diese Matrix habe ich folgende Lambdas ermittel (Das stimmt auch mit der Musterlösung überein)
[mm] \lambda1 [/mm] = 3
[mm] \lambda2 [/mm] = 1
[mm] \lambda3 [/mm] = 2
Nun setzte ich zB [mm] \lambda [/mm] = 2 in die Martix ein und erhalte dies:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & -1}
[/mm]
wo sich diese Gleichungen draus ergeben:
2x + z = 0
-2x -y = 0
Nun beginnt das Substituieren:
Ich habe x = [mm] \alpha
[/mm]
dann ergibt sich daraus z = -2 [mm] \alpha
[/mm]
durch weiteres einsetzen hab ich auch noch y = -2 [mm] \alpha
[/mm]
mein Eigenvektor sieht nun so aus: x = [mm] \vektor{ \alpha \\ -2 \alpha \\ -2 \alpha} [/mm] = 3 * [mm] \vektor{ 1 \\ -2 \\ -2 }
[/mm]
Das ist mein Ergebnis. In der Musterlösung wurde nun aber anderes Substituiert. Dort steht als Ergebnis:
[mm] \vektor{ - \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
Was sich daraus ergeben hat, dass bei den beiden übrig gebliebenden Gleichungen
2x + z = 0
-2x -y = 0
das z = [mm] \alpha [/mm] gesetzt wurde und nicht wie bei mir das x
Meine Frage ist nun, gibt es eine Regel fürs Substituieren ? Oder sind beide Ergebnisse richtig ? Wär ganz hilfreich, wenn mir das jemand erklären könnte, denn ich bin auch schon in anderen Fällen auf ein ähnliches Problem gestoßen, zB beim Substituieren eines unterbesetzten Gleichungssystems...
Schonmal Danke für die Antworten!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Do 26.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
Dein Problem ist ja, dass Dein Eigenvektor anders aussieht als der aus der Musterlösung.
Jetzt bilden aber die Eigenvektoren zu einem Eigenwert immer einen linearen Teilraum, d.h. für einen Eigenvektor v ist auch [mm]\mu v[/mm] mit beliebigem [mm] \mu [/mm] aus dem Grundkörper ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert.
Vergleicht man jetzt Dein Ergebnis mit der Musterlösung, dann sieht man ja, dass
[mm]\vektor{1\\-2\\-2} = -2 \vektor{-\bruch{1}{2}\\1\\1}[/mm]
d.h. die beiden Vektoren spannen den gleichen Teilraum auf. Also sind beide Lösungen gleich richtig.
Wenn man nur eine Variable frei wählen kann (d.h. einen eindimensionalen Teilraum betrachtet), dann sieht man die Gleichwertigkeit der Lösungen einfach daran, dass ein Vektor ein vielfaches des anderen ist. Kann man mehr Variablen frei wählen muss das so nicht mehr unbedingt gelten, aber es gibt immer noch mehrere gleichwertige Lösungen.
Beim Lösen von Gleichungssystemen gilt natürlich das gleiche, denn auch dort bilden ja die möglichen Lösungen immer einen linearen Teilraum und es gibt mehrere Möglichkeiten, dafür eine Menge von erzeugenden Vektoren anzugeben.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Do 26.01.2006 | | Autor: | d.liang |
danke, für die verständliche antwort ... so ist es einleuchtend ;)
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