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hallo Leute, hab mal wieder nen Problem, denke dass das Ganz einfach ist , wäre nett wenn einer von euch mir ein Beispiel erklären könnte die anderén schaff ich dann alleine, danke scho mal im voraus, vielleicht kannauch jemand erklären was eigenwerte und eigenvektoren überhaupt bedeuten....
wir betrachten die endormorphismen von C² der Form FA (A ist index) für die matrizen
11 01 10 11
i i 00 0 i 0 i
bestimmen sie jeweils die eigenwerte und eigenräume von FA.
ich weiß dass man die ablesen kann, aber wie? soll ja ganz einfach sein....
bitte helft mir , ich war ne weile nicht inner uni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo schniepchenmath!
Wirf bitte erst einmal einen Blick in unsere Forenregeln und verwende demnächst bitte unser Formelsystem.
Ist $F:V [mm] \to [/mm] V$ ein Endomorphismus über einem Körper $K$, so heißt [mm] $\lambda \in [/mm] K$ ein Eigenwert von $f$, wenn es sein $v [mm] \ne [/mm] 0$ von $V$ gibt mit
$F(v) = [mm] \lambda \cdot [/mm] v$.
Dann heißt $v$ Eigenvektor zu diesem Eigenwert.
Hier haben wir ja Matrizen $A$, und der Endomorphismus [mm] $F_A$ [/mm] wird vermöge
[mm] $F_A(v) =A\cdot [/mm] v$.
Nehmen wir mal das erste Beispiel:
$A= [mm] \pmat{1 & 1 \\ i & i}$.
[/mm]
Hier sieht man sofort, dass die Zeilen linear abhängig sind, d.h. $0$ ist auf jeden Fall ein Eigenwert. Jetzt müssen wir noch ein Element aus dem Kern finden. Das aber ist offenbar etwa [mm] $\pmat{1 \\ -1}$.
[/mm]
Probe:
[mm] $\pmat{1 & 1 \\ i & i} \cdot \pmat{1 \\ -1} [/mm] = [mm] \pmat{0 \\ 0} [/mm] = 0 [mm] \cdot \pmat{ 1 \\ -1}$.
[/mm]
Weiterhin ist wegen
[mm] $\pmat{1 & 1 \\ i & i} \cdot \pmat{1 \\ i} [/mm] = [mm] \pmat{1+i \\ i-1} [/mm] = (i+1) [mm] \cdot \pmat{ 1 \\ i}$.
[/mm]
$i+1$ ein Eigenwert zum Eigenvektor [mm] $\pmat{1 \\ i}$.
[/mm]
Bei den anderen Matrizen kann man ähnlich leicht die Eigenwerte und Eigenwerte ablesen, auch ohne sie explizit (über das charakteristische Polynom) auszurechnen.
Versuche es doch mal! 
Viele Grüße
Julius
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also erstmal vielen dank, ich hab da noch ne frage
ich kann das irgenwie nicht ablesen also hab ich das mit dem charakteristischen polynom versucht bin auch auf die gleichen eigenwerte wie du bekommen, beim zweiten beispiel auf 2mal 0 für die eigenwerte, bei den anderen beiden beispielen scheiter ich...... und wie krieg ih den eigenvektor wenn ich den eigenwert habe? das hab ich nicht so richtig verstanden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mi 15.06.2005 | | Autor: | NECO |
> also erstmal vielen dank, ich hab da noch ne frage
> ich kann das irgenwie nicht ablesen also hab ich das mit
> dem charakteristischen polynom versucht bin auch auf die
> gleichen eigenwerte wie du bekommen, beim zweiten beispiel
> auf 2mal 0 für die eigenwerte, bei den anderen beiden
> beispielen scheiter ich...... und wie krieg ih den
> eigenvektor wenn ich den eigenwert habe? das hab ich nicht
> so richtig verstanden
Hallo. Also wenn du die Eigenwerte gefunden hast, dann kanst du natürlich auch die Eigenvektoren finden.
Eigenvektor oder Eigenraum ist der Kern.
Der Eigenvektor ist so eine Vektor, wenn du diese Vektor mit deinem Matrix multipliziert muss 0 raus kommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ist [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert, dann musst du das lineare Gleichungsstem:
$(A - [mm] \lambda [/mm] E)x=0$
lösen (z.B. mit dem Gauß-Algorithmus), wobei $E$ die Einheitsmatrix (der entsprechenden Größe) ist.
Viele Grüße
Julius
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