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Eigenwerte: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Mi 06.07.2005
Autor: holg47

Hallo!

Ich soll beweisen, dass man gerade mit dem charakteristischen Polynom die Eigenwerte  erhält.
Ich hab in einen Buch schon mal nach einen Beweis geschaut, aber mir sind die ganzen Äuivalenzumformungen nicht klar.
Vielleicht kann mir mal jemand einen anschaulichen Beiweis zeigen.

Vielen Dank!!

        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Mi 06.07.2005
Autor: Max

Hallo Holger,

die Idee bei dem charakteristischem Polynom ist die folgende:

Für die Eigenwerte und -vektoren gilt ja [mm] $Av=\lambda [/mm] v$. Durch Umformungen kommt man zu:

[mm] $Av=\lambda [/mm] v [mm] \gdw Av-\lambda [/mm] v [mm] =0\gdw (A-\lambda [/mm] E)v=0$

Die triviale Lösung $v=0$ ist nicht erwünscht (per Definition des Eigenvektors). Damit diese Gleichung für einen Vektor [mm] $v\neq [/mm] 0$ erfüllt ist muss aber gerade die Matrix [mm] $(A-\lambda [/mm] E)$ die Determinate 0 sein.

Das ist aber eben gerade die Bedingung die die Nullstellen des charakteristischen Polynoms erfüllen.

Gruß Max

Bezug
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