Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mi 06.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich soll beweisen, dass man gerade mit dem charakteristischen Polynom die Eigenwerte erhält.
Ich hab in einen Buch schon mal nach einen Beweis geschaut, aber mir sind die ganzen Äuivalenzumformungen nicht klar.
Vielleicht kann mir mal jemand einen anschaulichen Beiweis zeigen.
Vielen Dank!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Holger,
die Idee bei dem charakteristischem Polynom ist die folgende:
Für die Eigenwerte und -vektoren gilt ja [mm] $Av=\lambda [/mm] v$. Durch Umformungen kommt man zu:
[mm] $Av=\lambda [/mm] v [mm] \gdw Av-\lambda [/mm] v [mm] =0\gdw (A-\lambda [/mm] E)v=0$
Die triviale Lösung $v=0$ ist nicht erwünscht (per Definition des Eigenvektors). Damit diese Gleichung für einen Vektor [mm] $v\neq [/mm] 0$ erfüllt ist muss aber gerade die Matrix [mm] $(A-\lambda [/mm] E)$ die Determinate 0 sein.
Das ist aber eben gerade die Bedingung die die Nullstellen des charakteristischen Polynoms erfüllen.
Gruß Max
|
|
|
|
