Eigenwerte Beweise < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Do 27.03.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe 1 | | Sei [mm] \lambda [/mm] Eigenwert des linearen Operators T auf V. Man zeige, dass [mm] \lambda^n [/mm] Eigenwert von [mm] T^n [/mm] ist. |
| Aufgabe 2 | | Der Vektor x sei EV der Operatoren S, T auf dem Vektorraum V. Dann ist x auch ein EV des Operators kS + iT mit k und i aus dem Körper, der V bestimmt. |
| Aufgabe 3 | | Seien [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] EV zum EW [mm] \lambda [/mm] des linearen Operators T auf V über dem Körper K. Dann ist auch [mm] kx_1 [/mm] + [mm] mx_2 [/mm] mit k,m aus K ein EV zum EW [mm] \lambda. [/mm] Prüfe die Behauptung an einem Beispiel und begründe sie gegebenenfalls. |
Wegen Unsicherheit frag ich lieber nochmal hier im forum nach ^^
Zu 1:
Wir haben in der VO noch nie einen linearen Operator mit einer Hochzahl gesehen. Aber ich denke, dass [mm] T^n [/mm] das gleiche ist wie T*T*T...*T (n Faktoren), oder?
Dann gilt T(v) = [mm] \lambda [/mm] * v und für [mm] T^n(v) [/mm] = T(v) * T(v) *....*T(v) = [mm] (\lambda [/mm] * v) * [mm] (\lambda [/mm] * v) * ... * [mm] (\lambda [/mm] * v) = lambda ^n * [mm] v^n
[/mm]
Richtig?
Zu 2:
S(x) = [mm] \lambda [/mm] * x
T(x) = [mm] \mu [/mm] * x (oder darf ich hier wieder lambda verwenden? müssen die Eigenwerte verschieden sein?)
dann gilt für kS+iT --> (kS+iT)(x) = k*S(x) + i*T(x) = k * [mm] \lambda [/mm] * x + [mm] i*\mu [/mm] * x = (k * [mm] \lambda [/mm] + i * [mm] \mu) [/mm] * x
sei (k * [mm] \lambda [/mm] + i * [mm] \mu) [/mm] := [mm] \alpha
[/mm]
(kS+iT) (x) = [mm] \alpha [/mm] * x
Also ist x Eigenvektor von kS+iT!
Richtig?
Zu 3:
[mm] T(x_1) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] x_1
[/mm]
[mm] T(x_2) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] x_2
[/mm]
[mm] T(k*x_1 [/mm] + m * [mm] x_2) [/mm] = [mm] k*T(x_1) [/mm] + m * [mm] T(x_2) [/mm] = k [mm] *\lambda [/mm] * [mm] x_1 [/mm] + m * [mm] \lambda [/mm] * [mm] x_2 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] (k*x_1 [/mm] + [mm] m*x_2)
[/mm]
Also ist [mm] \lambda [/mm] EW von [mm] (k*x_1 [/mm] + [mm] m*x_2)
[/mm]
Richtig?
Wie finde ich hier nun geeignete Vektoren für ein Beispiel?
Kann ich diese beliebig wählen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Do 27.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Sei [mm]\lambda[/mm] Eigenwert des linearen Operators T auf V. Man
> zeige, dass [mm]\lambda^n[/mm] Eigenwert von [mm]T^n[/mm] ist.
> Der Vektor x sei EV der Operatoren S, T auf dem Vektorraum
> V. Dann ist x auch ein EV des Operators kS + iT mit k und i
> aus dem Körper, der V bestimmt.
> Seien [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] EV zum EW [mm]\lambda[/mm] des linearen Operators
> T auf V über dem Körper K. Dann ist auch [mm]kx_1[/mm] + [mm]mx_2[/mm] mit
> k,m aus K ein EV zum EW [mm]\lambda.[/mm] Prüfe die Behauptung an
> einem Beispiel und begründe sie gegebenenfalls.
> Wegen Unsicherheit frag ich lieber nochmal hier im forum
> nach ^^
>
> Zu 1:
> Wir haben in der VO noch nie einen linearen Operator mit
> einer Hochzahl gesehen. Aber ich denke, dass [mm]T^n[/mm] das
> gleiche ist wie T*T*T...*T (n Faktoren), oder?
Ja, allerdings bedeutet "*" hier keinesfalls eine Multiplikation in V. Die ist i.A. doch gar nicht definiert. Bist du nicht beim Tippen von [mm] v^n [/mm] stutzig geworden ? Was soll denn [mm] \vektor{-7 \\ 4}^2 [/mm] sein ?
In [mm] T^n [/mm] = T*T*T...*T (n Faktoren) bedetet "*" die Nacheinanderausführung (Verkettung, Komposition) von Abbildungen. [mm] T^3(v) [/mm] steht also für [mm] T\left( T\left( T\left( v \right) \right) \right)
[/mm]
> Dann gilt T(v) = [mm]\lambda[/mm] * v und für [mm]T^n(v)[/mm] = T(v) * T(v)
> *....*T(v) = [mm](\lambda[/mm] * v) * [mm](\lambda[/mm] * v) * ... * [mm](\lambda[/mm]
> * v) = lambda ^n * [mm]v^n[/mm]
> Richtig?
>
> Zu 2:
> S(x) = [mm]\lambda[/mm] * x
> T(x) = [mm]\mu[/mm] * x (oder darf ich hier wieder lambda
> verwenden? müssen die Eigenwerte verschieden sein?)
Sie müssen nicht verschieden sein, aber sie werden i.A. verschieden sein, also musst du auf jeden Fall [mm] \mu [/mm] verwenden, wie du es ja auch gemacht hast.
>
> dann gilt für kS+iT --> (kS+iT)(x) = k*S(x) + i*T(x) = k *
> [mm]\lambda[/mm] * x + [mm]i*\mu[/mm] * x = (k * [mm]\lambda[/mm] + i * [mm]\mu)[/mm] * x
> sei (k * [mm]\lambda[/mm] + i * [mm]\mu)[/mm] := [mm]\alpha[/mm]
> (kS+iT) (x) = [mm]\alpha[/mm] * x
> Also ist x Eigenvektor von kS+iT!
> Richtig?
>
> Zu 3:
> [mm]T(x_1)[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm]x_1[/mm]
> [mm]T(x_2)[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm]x_2[/mm]
>
> [mm]T(k*x_1[/mm] + m * [mm]x_2)[/mm] = [mm]k*T(x_1)[/mm] + m * [mm]T(x_2)[/mm] = k [mm]*\lambda[/mm] *
> [mm]x_1[/mm] + m * [mm]\lambda[/mm] * [mm]x_2[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm](k*x_1[/mm] + [mm]m*x_2)[/mm]
> Also ist [mm]\lambda[/mm] EW von [mm](k*x_1[/mm] + [mm]m*x_2)[/mm]
> Richtig?
>
Deine Beweise zu 2. und 3. sind in Ordnung.
> Wie finde ich hier nun geeignete Vektoren für ein
> Beispiel?
> Kann ich diese beliebig wählen??
>
Zuerst gilt es doch mal eine Abbildung zu finden. Die entsprechenden Eigenvektoren ergeben sich dann daraus. Denke mal über Projektionen nach. Oder Beginne rückwärts mit einem charakteristischen Polynom, das die doppelte Nullstelle [mm] \lambda [/mm] hat, bastele dir daraus die Abbildungsmatrix für T und zeige den Rest der Behauptung.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Do 27.03.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Hi!
Stimmt! Das mit der verknüpfung hätte ich beinahe übersehenn ^^
Somit bleibt v immer v und wird NIE zu [mm] v^n!
[/mm]
Zu 3:
Könnte ich mit folgendem (ziemlich billigen) Beispiel den die Behauptung zeigen:
Sei T(x,0,0) -> (x,0,0) (von [mm] R^3 [/mm] in [mm] R^3)
[/mm]
sein [mm] x_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} x_2 [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
sei k = 5 und m = 3
sei [mm] \lambda [/mm] = 1
es gilt [mm] T(x_1) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] x_1
[/mm]
[mm] T(x_2) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] x_2
[/mm]
[mm] k*x_1 [/mm] + [mm] m*x_2 [/mm] = [mm] \vektor{11 \\ 0 \\ 0} [/mm] := x
[mm] T(k*x_1 [/mm] + [mm] m*x_2) [/mm] = [mm] 5*T(x_1) [/mm] + [mm] 3*T(x_2) [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{ 6 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{11 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * x
Anhand eines Beispiels die Behauptung gezeigt!
Begründung wäre noch, weil es ja einen Vektorraum [mm] E_\lambda [/mm] zum EW [mm] \lambda [/mm] gibt, der alle passenden Eigenvektoren besitzt.
Und dieser Vektorraum ist abgeschlossen bzgl Addition und Multiplikation mit einem Skalar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Do 27.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hi!
> Stimmt! Das mit der verknüpfung hätte ich beinahe
> übersehenn ^^
> Somit bleibt v immer v und wird NIE zu [mm]v^n![/mm]
v wird zu T(v)
>
> Zu 3:
> Könnte ich mit folgendem (ziemlich billigen) Beispiel den
> die Behauptung zeigen:
Mit einem (positiven) Beispiel kann man niemals etwas zeigen, allenfalls veranschaulichen.
> Sei T(x,0,0) -> (x,0,0) (von [mm]R^3[/mm] in [mm]R^3)[/mm]
> sein [mm]x_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0} x_2[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> sei k = 5 und m = 3
> sei [mm]\lambda[/mm] = 1
>
Du kannst [mm] \lambda [/mm] nicht "sein lassen". Entweder ist $ [mm] \lambda [/mm] =1 $ ein Eigenwert von T oder es ist es nicht. Ähnliches gilt für die Vektoren [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2, [/mm] die entweder Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sind (dann sind sie als Beispiele geeignet, und dieser Fall liegt tatsächlich vor) oder es eben nicht sind.
> es gilt [mm]T(x_1)[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm]x_1[/mm]
> [mm]T(x_2)[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm]x_2[/mm]
>
> [mm]k*x_1[/mm] + [mm]m*x_2[/mm] = [mm]\vektor{11 \\ 0 \\ 0}[/mm] := x
Du bezeichnest oben mit x die erste Koordinate eines Vektors, jetzt einen ganzen Vektor. Das ist nicht sehr schön.
> [mm]T(k*x_1[/mm] + [mm]m*x_2)[/mm] = [mm]5*T(x_1)[/mm] + [mm]3*T(x_2)[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\vektor{ 6 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{11 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] *
> x
> Anhand eines Beispiels die Behauptung gezeigt!
siehe oben.
>
> Begründung wäre noch, weil es ja einen Vektorraum
> [mm]E_\lambda[/mm] zum EW [mm]\lambda[/mm] gibt, der alle passenden
> Eigenvektoren besitzt.
Genau diese Eigenschaft der Eigenvektoren zu einem Eigenwert, nämlich einen Untervektorraum (Eigenraum) von V zu bilden, ist Thema dieser Aufgabe.
> Und dieser Vektorraum ist abgeschlossen bzgl Addition und
> Multiplikation mit einem Skalar!
Denn sonst wäre es ja kein Vektorraum.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Do 27.03.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Okay!
Dann setz ich die vorschrift T(a,0,0) -> (a,0,0)
Das heißt, ich darf [mm] \lambda [/mm] nicht vorher definieren!
Aber aus meiner abbildungsvorschrift ergibt sich ja dann, das [mm] \lambda [/mm] = 1 für beide vektoren [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ist, nicht?
Ist das beispiel sonst trotzdem korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Do 27.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Okay!
> Dann setz ich die vorschrift T(a,0,0) -> (a,0,0)
>
> Das heißt, ich darf [mm]\lambda[/mm] nicht vorher definieren!
> Aber aus meiner abbildungsvorschrift ergibt sich ja dann,
> das [mm]\lambda[/mm] = 1 für beide vektoren [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] ist,
> nicht?
über das Wort "für" müssen wir uns noch mal unterhalten.
Grundlage ist die Abbildung T. Diese hat (sind ihr zugeordnet, zu T gibt es, ...) einen oder mehrere Eigenwerte, einer davon sei [mm] \lambda. [/mm] Zu diesem [mm] \lambda [/mm] gibt es Eigenvektoren x, die tatsächlich einen ganzen Eigenraum bilden.
Die Reihenfolge ist also : Zuerst kam die Abbildung, dann ihre Eigenwerte und schließlich die Eigenvektoren.
Du kannst jedenfalls nicht mit einem beliebigen Vektor anfangen und für diesen dann einen Eigenwert suchen.
>
> Ist das beispiel sonst trotzdem korrekt?
Ja.
Gruß Sax.
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