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| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 9 & 5 & 6 \\ -6 & -2 & -2 }
[/mm]
Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A. Geben Sie dann eine Basis B' des [mm] \IR^3 [/mm] aus Eigenvektoren an, bzgl. der die Matrix A auf Diagonalgestalt übergeht. |
Hallo,
Die Eigenwerte sind 1 und 2 (Vielfachheit 2). Müssten stimmen, hab ich auch mit TR überprüft.
Nun zum Problem Eigenvektoren:
ich habe zu [mm] \lambda_{1}= [/mm] 1: [mm] \overrightarrow{x_{1}}= t*\pmat{ 0 \\ -3 \\ 2} [/mm] also z.B. [mm] \overrightarrow{x_{1}}=\pmat{ 0 \\ -3 \\ 2}
[/mm]
zu [mm] \lambda_{2}= [/mm] 2: [mm] \overrightarrow{x_{2}}= r*\pmat{ -1 \\ 3 \\ 0}+ s*\pmat{ 0 \\ -2 \\ 3} [/mm] also z.B. [mm] \overrightarrow{x_{2}}=\pmat{ -1 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
Stimmen die Eigenvektoren?
Kann man jetzt schon sagen, dass es keine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] geben kann da es nur 2 Basisvektoren gibt? Dann wäre A ja nicht diagonalisierbar.
Oder komme ich irgendwie an einen dritten Eigenvektor, der nicht ein Vielfaches der 2 ist?
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> Gegeben ist die Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 9 & 5 & 6 \\ -6 & -2 & -2 }[/mm]
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> Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A. Geben Sie dann
> eine Basis B' des [mm]\IR^3[/mm] aus Eigenvektoren an, bzgl. der die
> Matrix A auf Diagonalgestalt übergeht.
> Hallo,
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> Die Eigenwerte sind 1 und 2 (Vielfachheit 2). Müssten
> stimmen, hab ich auch mit TR überprüft.
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> Nun zum Problem Eigenvektoren:
>
> ich habe zu [mm]\lambda_{1}=[/mm] 1: [mm]\overrightarrow{x_{1}}= t*\pmat{ 0 \\ -3 \\ 2}[/mm]
> also z.B. [mm]\overrightarrow{x_{1}}=\pmat{ 0 \\ -3 \\ 2}[/mm]
>
> zu [mm]\lambda_{2}=[/mm] 2: [mm]\overrightarrow{x_{2}}= r*\pmat{ -1 \\ 3 \\ 0}+ s*\pmat{ 0 \\ -2 \\ 3}[/mm]
> also z.B. [mm]\overrightarrow{x_{2}}=\pmat{ -1 \\ 1 \\ 3}[/mm]
>
> Stimmen die Eigenvektoren?
Hallo,
ja, Du hast richtig gerechnet, aber beim Eigenwert 2 nicht richtig interpretiert:
> [mm] \overrightarrow{x_{2}}= r*\pmat{ -1 \\ 3 \\ 0}+ s*\pmat{ 0 \\ -2 \\ 3}
[/mm]
teilt mit, daß jeder Eigenvektor zu 2 eine Linearkombination dieser beiden Vektoren ist.
Damit sind [mm] \pmat{ -1 \\ 3 \\ 0}, \pmat{ 0 \\ -2 \\ 3} [/mm] zusammen eine Basis des Eigenraumes zu 2 - und natürlich jeweils Eigenvektoren zu 2.
Insgesamt hast Du jetzt 3 linear unabhängige Eigenvektoren der Matrix gefunden - und damit eine Basis aus Eigenvektoren. Also: diagonalisierbar.
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> Kann man jetzt schon sagen, dass es keine Basis des [mm]\IR^3[/mm]
> geben kann da es nur 2 Basisvektoren gibt? Dann wäre A ja
> nicht diagonalisierbar.
Wenn der Eigenraum zu 2 auch nur die Dimension 1 gehabt hätte, wäre dieser Schluß richtig gewesen.
Gruß v. Angela
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danke für die Antwort. Ja macht Sinn.
Jetzt hab ich da aber noch ein Problem:
Wenn ich jetzt die Transformationsmatrix T aufstelle mit: T = [mm] \pmat{ \overrightarrow{x_{1}} & \overrightarrow{x_{2}} &\overrightarrow{x_{3}} } [/mm]
und dann berechne [mm] A'=T^{-1}*A*T
[/mm]
müssten doch nur die Eigenwerte in der Hauptdiagonalen stehen. Aber da steht noch ne -4 wo sie eigentlich nicht hingehört.
in welche Reihenfolge ich die Eigenvektoren ich in die Matix schreibe ist doch egal oder?
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> danke für die Antwort. Ja macht Sinn.
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> Jetzt hab ich da aber noch ein Problem:
>
> Wenn ich jetzt die Transformationsmatrix T aufstelle mit: T
> = [mm]\pmat{ \overrightarrow{x_{1}} & \overrightarrow{x_{2}} &\overrightarrow{x_{3}} }[/mm]
>
> und dann berechne [mm]A'=T^{-1}*A*T[/mm]
>
> müssten doch nur die Eigenwerte in der Hauptdiagonalen
> stehen. Aber da steht noch ne -4 wo sie eigentlich nicht
> hingehört.
>
> in welche Reihenfolge ich die Eigenvektoren ich in die
> Matix schreibe ist doch egal oder?
Hallo,
das Problem kann eigentlich nur von irgendeinem Rechenfehler kommen.
Gruß v. Angela
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Hab ich auch gedacht, habs aber mit dem TR gerechnet und ich find beim Eintippen keinen Fehler.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Hab ich auch gedacht, habs aber mit dem TR gerechnet und
> ich find beim Eintippen keinen Fehler.
Hallo,
es sieht mir so aus, als wäre Dir bei der Bestimmung der Eigenvektoren ein Fehler, möglicherweise ein Tippfehler, unterlaufen, den ich übersehen habe.
So wäre es wohl richtig:
$ [mm] \overrightarrow{x_{2}}= r\cdot{}\pmat{ -1 \\ 3 \\ 0}+ s\cdot{}\pmat{ 0 \\\red{-6} \\ 3} [/mm] $
Gruß v. Angela
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ahh, danke für den Tip. Ich hab zwei Zahlen vertauscht...
> [mm]\overrightarrow{x_{2}}= r\cdot{}\pmat{ -1 \\ 3 \\ 0}+ s\cdot{}\pmat{ \red{-2} \\\red{0} \\ 3}[/mm]
Jetzt hab ichs, vielen Dank !
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