www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte & Diagonalmatrix
Eigenwerte & Diagonalmatrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwerte & Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Fr 29.10.2004
Autor: Micha

Hallo!

Also ich habe eine Menge von (in diesem Fall paarweise verschiedenen) Eigenwerten [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ [/mm] zu einem $F [mm] \in [/mm] End(V)$ mit $dim(V) = n$ . Dann hatten wir in zu F eine darstellende Matrix in Diagonalgestalt aus den Eigenwerten konstruiert:

[mm] A:= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & \lambda_{k-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_k \\ \end{pmatrix} [/mm]

Dabei war meine Wahl der Eigenwerte auch relativ willkürlich. Aber mal angenommen ich habe einen Vektor [mm] $b_1$ [/mm] aus der Basis von V, wobei [mm] $b_1 \in [/mm] Eig(V, [mm] \lambda_1)$, [/mm] also dem Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda_1$. [/mm] Ist dann meine Matrix in dieser Diagonalgestalt eindeutig, oder kann es noch eine andere Matrix in Diagonalgestalt geben, die zu A ähnlich ist?

Oder noch anders: Kann ich die Reihenfolge der Eigenwerte auf der hauptdiagonale beliebig vertauschen, oder sind sie durch die Bilder der Basisvektoren, die sie ja darstellen ( [mm] $Ab_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 b_1$) [/mm] eindeutig festgelegt?

Gruß Micha ;-)

        
Bezug
Eigenwerte & Diagonalmatrix: Hängt von der Basis ab
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Fr 29.10.2004
Autor: Gnometech

Hallo Michael!

Ich bin nicht sicher, ob ich Deine Frage richtig verstehe... denn wenn der Endomorphismus $F$ vorgegeben ist, dann ist die Matrix zu $F$ eindeutig bestimmt, sofern eine bestimmte Basis vorgegeben ist. Und eine andere Basis liefert eine andere Matrix.

Wenn Du also $k$ paarweise verschiedene Eigenwerte [mm] $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ [/mm] gefunden hast, dann gibt es natürlich auch linear unabhängige Vektoren [mm] $b_1, \ldots, b_k$ [/mm] mit [mm] $b_i \in [/mm] Eig(F, [mm] \lambda_i)$. [/mm]

Bezüglich dieser Basis (eines Teilraumes, es sei denn $k = n$) hat $F$ die angegebene Matrix. Wenn Du die Basisvektoren permutierst erhältst Du eine andere Basis und die Diagonaleinträge permutieren sich. Diese neue Matrix bzgl. der neuen Basis ist ähnlich zu der alten (Vor- und Nachschaltung von Permutationsmatrizen liefert Ähnlichkeit). Insofern ist die Reihenfolge der Diagonalelemente recht beliebig.

Das gleiche gilt ja auch für die allgemeinere Jordansche Normalform: die Reihenfolge der "Jordankästchen" ist nicht eindeutig bestimmt - man zerlegt den Vektorraum in die Haupträume (diese sind $F$-invariant) und bastelt sich dann aus den einzelnen Basen eine große Basis von $V$ zusammen - und je nach Reihenfolge des Zusammensetzens entsteht die Reihenfolge in der Matrix.

Alles klar? :-)

Lars



Bezug
                
Bezug
Eigenwerte & Diagonalmatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:07 Fr 29.10.2004
Autor: Micha

Hallo Lars!
> Hallo Michael!
>  
> Ich bin nicht sicher, ob ich Deine Frage richtig
> verstehe... denn wenn der Endomorphismus [mm]F[/mm] vorgegeben ist,
> dann ist die Matrix zu [mm]F[/mm] eindeutig bestimmt, sofern eine
> bestimmte Basis vorgegeben ist. Und eine andere Basis
> liefert eine andere Matrix.
>  
> Wenn Du also [mm]k[/mm] paarweise verschiedene Eigenwerte [mm]\lambda_1, \ldots, \lambda_k[/mm]
> gefunden hast, dann gibt es natürlich auch linear
> unabhängige Vektoren [mm]b_1, \ldots, b_k[/mm] mit [mm]b_i \in Eig(F, \lambda_i)[/mm].
>  
>
> Bezüglich dieser Basis (eines Teilraumes, es sei denn [mm]k = n[/mm])
> hat [mm]F[/mm] die angegebene Matrix. Wenn Du die Basisvektoren
> permutierst erhältst Du eine andere Basis und die
> Diagonaleinträge permutieren sich. Diese neue Matrix bzgl.
> der neuen Basis ist ähnlich zu der alten (Vor- und
> Nachschaltung von Permutationsmatrizen liefert
> Ähnlichkeit). Insofern ist die Reihenfolge der
> Diagonalelemente recht beliebig.
>  
> Das gleiche gilt ja auch für die allgemeinere Jordansche
> Normalform: die Reihenfolge der "Jordankästchen" ist nicht
> eindeutig bestimmt - man zerlegt den Vektorraum in die
> Haupträume (diese sind [mm]F[/mm]-invariant) und bastelt sich dann
> aus den einzelnen Basen eine große Basis von [mm]V[/mm] zusammen -
> und je nach Reihenfolge des Zusammensetzens entsteht die
> Reihenfolge in der Matrix.
>  
> Alles klar? :-)
>  
> Lars

Also meine Frage ist beantwortet und bis auf den letzten Absatz verstehe ich auch alles, aber ich hatte die Jordansche Normalform noch nich. *g*

Das meine Vertauschung der Diagonalelemente eigentlich ein Basiswechsel ist, daran hab ich nich gedacht, ich Blödi. xD

Danke nochmal,

Michael

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de