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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Mo 25.04.2016 | | Autor: | siggi571 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix
A= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 }
[/mm]
a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren
b) Wie lautet die allgemeine Lösung von
[mm] \overrightarrow{y'} [/mm] = A * [mm] \overrightarrow{y} [/mm] mit [mm] \overrightarrow{y} [/mm] = [mm] \vektor{y_{1} (x) \\ y_{2} (x) \\ y_{3} (x)} [/mm] |
Hallo Community,
ich komme bei folgender Aufgabe in Details nicht weiter. Ich bitte deshalb um eure Hilfe.
a) Mein Ansatz: Eigenwerte ermitteln durch [mm] (A-\lambda*E)=0
[/mm]
Hierdurch erhalte ich [mm] \lambda_{1} [/mm] = 0 ; [mm] \lambda_{2,3} [/mm] = 2
Nun zu den Eigenvektoren. Hier setze ich meine Werte für [mm] \lambda [/mm] in den Ansatz [mm] (A-\Lambda*E)*x=0 [/mm] ein.
Ich erhalte die Matrix
[mm] \vmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 } [/mm] für [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \vmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & -2 } [/mm] für [mm] \lambda_{2,3}
[/mm]
Und hier mein Problem. Wie komme ich nun auf meine Eigenvektoren?
Ich müsste ja drei bekommen. Ich zeige mal exemplarisch, was ich mir für [mm] \lambda_{1} [/mm] denke, ich kann es aber nicht begründen, weshalb, darum brauch ich eure Hilfe:
Aus Zeile 2 folge [mm] x_{2} [/mm] = 0, Aus Zeile 3 folgt [mm] x_{3} [/mm] = 0,
da es eine Nullzeile gibt, habe ich einen frei wählbaren Parameter. Demzufolge ist [mm] x_{1} [/mm] = r ; r [mm] \in \IR [/mm] \ 0
Ergebnis:
[mm] \overrightarrow{x_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{ r \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Parallel zur obigen Argumentation erhalte ich
[mm] \overrightarrow{x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ -r \\ r}
[/mm]
Ist das richtig und wenn ja warum?
Für den dritten Eigenvektor würde ich das Kreuzprodukt der beiden nehmen, da Eigenvektoren senkrecht zueinander stehen? Stimmt das?
b) Hier fehlt mir jeglicher Ansatz im Moment, allerdings habe ich noch nicht genauer nachgedacht. Bitte noch nicht beachten, werde ich im Laufe der nächsten Stunden ausarbeiten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mo 25.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab für [mm] \lambda_2=2 [/mm] für [mm] \lambda_3=-2 [/mm] raus dann hast du 3 EV
die 2 die du hast sind richtig.
Gruß leduart
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