Eigenwerte/Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Klerk91 |
| Aufgabe | | Oft wird bei uns von eigenwerten und Eigenvektoren einer Abbildung gesprochen. Ich bin aber der Meinung dass diese Sprechweise nicht korrekt ist, denn meine Überlegung ist: |
Eigenwerte und deren eigenräume sind lediglich dann wohldefiniert, wenn es sich um ähnliche Matrizen handelt, das heißt für Abbildungen die bezüglich ähnlicher Basen ausgewertet sind. Wähle ich jedoch für die gleiche Abbildung plötzlich verschiedene Basen, so sind auch meine eigenwerte/eigenräume verschieden. Trotzdem denke ich, dass die algebraische und geometrische vielfachheit für eine Abbildung wohldefiniert sind, stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Mo 21.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Oft wird bei uns von eigenwerten und Eigenvektoren einer
> Abbildung gesprochen. Ich bin aber der Meinung dass diese
> Sprechweise nicht korrekt ist, denn meine Überlegung ist:
> Eigenwerte und deren eigenräume sind lediglich dann
> wohldefiniert, wenn es sich um ähnliche Matrizen handelt,
> das heißt für Abbildungen die bezüglich ähnlicher Basen
> ausgewertet sind. Wähle ich jedoch für die gleiche
> Abbildung plötzlich verschiedene Basen, so sind auch meine
> eigenwerte/eigenräume verschieden.
Nein. Das stimmt nicht.
> Trotzdem denke ich,
> dass die algebraische und geometrische vielfachheit für
> eine Abbildung wohldefiniert sind, stimmt das?
Nein, was soll das sein: "Vielfachheit einer Abbildung" ?
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:46 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Klerk91 |
Naja, aber äquivalente Matrizen haben doch im allgemeinen verschiedene eigenwerte und eigenräume! Beachte, dass ich zwar von einer Abbildung aber nicht von ähnlichen Matrizen spreche
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 23.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo!
ich denke auch, du würfelst du da was durcheinander.
Eine Matrix stellt immer die Repräsentation einer Abbildung bezüglich einer gegebenen Basis dar, ebenso, wie ein und der gleiche Vektor in verschiedenen Basen unterschiedliche Darstellungen hat.
Die Geometrischen Eigenschaften einer Abbildung sind aber unabhängig von der Basis. Der Eigenwert sollte daher immer identisch sein, die Eigenvektoren sind auch gleich, unterscheiden sich aber in ihrer Darstellung je nach verwendeter Basis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Klerk91 |
Okay ein Beispiel wir stellen uns die lineare Abbildung vor die jede Komponente in eine gegebene Raumrichtung verdoppelt...demnach wären die eigenwerte 2,2,2 und die Eigenvektoren z.b. bezüglich der kanonischen Basis (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). Wähle ich jedoch als zielbasis nicht die kanonische sondern die Basis (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2) so erhalte ich eigenwerte 1,1,1 was euren Antworten doch widersprechen würde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mo 21.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay ein Beispiel wir stellen uns die lineare Abbildung vor
> die jede Komponente in eine gegebene Raumrichtung
> verdoppelt...demnach wären die eigenwerte 2,2,2 und die
> Eigenvektoren z.b. bezüglich der kanonischen Basis
> (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). Wähle ich jedoch als zielbasis
> nicht die kanonische sondern die Basis
> (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2) so erhalte ich eigenwerte 1,1,1 was
> euren Antworten doch widersprechen würde
Nein.
Nennen wir die Abb. mal f.
Also : f(x)=2x für alle x [mm] \in \IR^3
[/mm]
Ist [mm] x_0=(2,0,0)^T, [/mm] so ist [mm] f(x_0)=(4,0,0)^T=2*(2,0,0)^T=2*x_0
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Klerk91 |
stimmt doch gar nicht. in der zielbasis, wenn diese aus (2,0,0), (0,2,0) und (0,0,2) besteht ist das bild f(x0)=(2,0,0) und demnach ist auch der eigenwert 1. ich entschuldige mich, falls ich mich irre, aber sehe keinen denkfehler. meiner meinung nach haben äquivalente matrizen eben i.A. verschiedene eigenwerte und das ist gerade bei verschiedener wahl von ziel und eingangsbasis der fall.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:04 Di 22.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> stimmt doch gar nicht. in der zielbasis, wenn diese aus
> (2,0,0), (0,2,0) und (0,0,2) besteht ist das bild
> f(x0)=(2,0,0)
Nein, es ist [mm] f(x_0)=2*x_0
[/mm]
> und demnach ist auch der eigenwert 1. ich
> entschuldige mich, falls ich mich irre, aber sehe keinen
> denkfehler. meiner meinung nach haben äquivalente matrizen
> eben i.A. verschiedene eigenwerte und das ist gerade bei
> verschiedener wahl von ziel und eingangsbasis der fall.
Unsinn.
FRED
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