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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Eigenwerte Eigenvektoren
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Eigenwerte Eigenvektoren: Eine zweite Meinung bitte
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Sa 27.04.2013
Autor: MadHatter

Aufgabe
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

A := [mm] \pmat{ 1 & -2\wurzel{6} & \wurzel{2} \\ -2\wurzel{6} & 0 & 2\wurzel{3} \\ \wurzel{2} & 2\wurzel{3} & 2} [/mm]

Mahlzeit

Wie man Eigenvektoren und -werte berechnet ist mir verständlich, jedoch stellt mich diese Matrix vor ein Problem.

Sei c= Eigenwert. Dann hat das charakteristische Polynom die Form

[mm] Q(c)=-c^{3}+3c^{2}+30c-102 [/mm]

Die Nullstellen des Polynoms kann man mit der Cardanischen Formel berechnen, aber diese Werte sind mehr als hässlich und für die Berechnung von Eigenvektoren ziemlich unbrauchbar.
Meine Frage ist deshalb, übersehe ich einen algebraischen Kunstkniff der mir das Leben vereinfacht?
Das einzige was an der Matrix auffällt ist das die tansponierte identisch mit der Ausgangsmatrix wäre. Nur erscheint mir das nicht wirklich hilfreich.

Vielen Dank schon mal

        
Bezug
Eigenwerte Eigenvektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Sa 27.04.2013
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

>

> A := [mm]\pmat{ 1 & -2\wurzel{6} & \wurzel{2} \\ -2\wurzel{6} & 0 & 2\wurzel{3} \\ \wurzel{2} & 2\wurzel{3} & 2}[/mm]

>

> Mahlzeit

>

> Wie man Eigenvektoren und -werte berechnet ist mir
> verständlich, jedoch stellt mich diese Matrix vor ein
> Problem.

>

> Sei c= Eigenwert. Dann hat das charakteristische Polynom
> die Form

>

> [mm]Q(c)=-c^{3} 3c^{2} 30c-102[/mm]


Hallo,

ich bekomme als charakteristisches Polynom heraus:

[mm] \chi(t)=-t^3+t^2+38t-60, [/mm]

aber die Nullstellen scheinen mir auch hier häßlich zu sein.

Die Matrix und Aufgabenstellung war so vorgegeben?

LG Angela




>

> Die Nullstellen des Polynoms kann man mit der Cardanischen
> Formel berechnen, aber diese Werte sind mehr als hässlich
> und für die Berechnung von Eigenvektoren ziemlich
> unbrauchbar.
> Meine Frage ist deshalb, übersehe ich einen algebraischen
> Kunstkniff der mir das Leben vereinfacht?
> Das einzige was an der Matrix auffällt ist das die
> tansponierte identisch mit der Ausgangsmatrix wäre. Nur
> erscheint mir das nicht wirklich hilfreich.

>

> Vielen Dank schon mal


Bezug
                
Bezug
Eigenwerte Eigenvektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:36 Sa 27.04.2013
Autor: MadHatter

Danke für die schnelle Reaktion.

Die Aufgabe ist so vorgegeben und ich habe auch nichts weggelassen.
Und ich werde nochmal das Polynom nachrechnen.
War nur der Überzeugung das es stimmt, da unabhängig von mir mein Kumpel das selbe Ergebnis hatte.

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte Eigenvektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:43 Sa 27.04.2013
Autor: MadHatter

Hab es nochmal überprüft und erhalte wieder das Polynom, welches im Eingangspost steht.

Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte Eigenvektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:49 Sa 27.04.2013
Autor: angela.h.b.

Hallo,

wenn es Dir wichtig ist, rechne vor.

Dann kann man gucken, ob Ihr alles richtig gemacht habt oder ich. (Ich habe rechnen lassen...)

LG Angela

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte Eigenvektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:04 Sa 27.04.2013
Autor: MadHatter

Ok. Ich hatte einen Fehler. Beim dritten mal nachrechnen bekomme ich die Formel
Q(t)= [mm] -c^{3}+3c^{2}+36c-108 [/mm]

Diese hat sehr sympathische Nullstellen.
Danke für die Anschubs nochmal das Polynom nachzurechnen.
Hab meinen Fehler gefunden [mm] 2\wurzel{3}*2\wurzel{3} [/mm] war bei mir 6.

Naja. Als Mathestudent lernt man halt nicht rechnen.
Vielen Dank Angela



Bezug
                                                
Bezug
Eigenwerte Eigenvektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Sa 27.04.2013
Autor: angela.h.b.


> Naja. Als Mathestudent lernt man halt nicht rechnen.

Und älteren Damen fällt das Abschreiben von Zahlen schwer. Ich hatte die falsche Matrix - und ich hatte sie mindestens 3x verglichen...

LG Angela

Bezug
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