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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte/Matr. potenzieren
Eigenwerte/Matr. potenzieren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwerte/Matr. potenzieren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:58 So 23.01.2011
Autor: DrNetwork

Aufgabe
T [mm] \in \IR^{nxn} [/mm]

a) Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert der Matrix T, dann ist [mm] \lambda^j [/mm] für j [mm] \in \IN [/mm] ein Eigenwert der Matrix [mm] T^j. [/mm]

b) Für den Spektralradius der Matrix T, definiert durch ρ(T) := [mm] max_{1\le i \le n} [/mm] || [mm] \lambda_j [/mm] || mit [mm] \lambda_j [/mm] Eigenwerte von T, gilt:

p(T) [mm] \le \limes_{j\rightarrow\infty} ||T^j||^{1/j} [/mm]

Hi,

bei der a)

da dacht ich an die Diagonalisierbarkeit:

[mm]D = T^{-1}AT[/mm]
[mm] \Rightarrow D^k = T^{-1}A^kT[/mm]

Würde das reichen?

        
Bezug
Eigenwerte/Matr. potenzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 So 23.01.2011
Autor: Teufel

Hi!

Du kannst nicht davon ausgehen, dass die Matrix diagonalisierbar ist!
Mach das lieber mal so:
Sei [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von T zum Eigenvektor v, d.h. [mm] $Tv=\lambda [/mm] v$.

Nun schau mal was passiert, wenn man $T^jv$ ausrechnet.

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte/Matr. potenzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:26 So 23.01.2011
Autor: DrNetwork

> Hi!
>  
> Du kannst nicht davon ausgehen, dass die Matrix
> diagonalisierbar ist!

Hmm.. ja das dacht ich mir schon.

>  Mach das lieber mal so:
>  Sei [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von T zum Eigenvektor v, d.h.
> [mm]Tv=\lambda v[/mm].
>  
> Nun schau mal was passiert, wenn man [mm]T^jv[/mm] ausrechnet.

Wie kann ich das allgemeingültig machen?


Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte/Matr. potenzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 So 23.01.2011
Autor: Teufel

Hi!

So, wie ich es geschrieben habe. Wenn v Eigenvektor von T zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist, dann schau dir mal [mm] $T^j*v$ [/mm] an.

Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte/Matr. potenzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 So 23.01.2011
Autor: DrNetwork


> Hi!
>  
> So, wie ich es geschrieben habe. Wenn v Eigenvektor von T
> zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] ist, dann schau dir mal [mm]T^j*v[/mm] an.

Entschuldigung aber da stehe ich auf dem Schlau. Wie soll ich das machen also:

[mm]Tv = \lambda v[/mm]
[mm](T*T)v = (\lambda*\lambda)v[/mm]

Ändern sich die Eigenvektoren nicht?

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte/Matr. potenzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:01 Mo 24.01.2011
Autor: Teufel

In dem Fall ist v auch ein Eigenvektor der Potenzmatrix! Nehmen wir mal j=2.

Gegeben hast du ja, dass [mm] $Tv=\lambda [/mm] v$ ist.

Dann ist [mm] $T^2*v=(T*T)*v=T*(T*v)=T*(\lambda*v)=\lambda*(T*v)=\lambda^2*v. [/mm]
Also ist v Eigenvektor von [mm] T^2 [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda^2. [/mm]

Bezug
        
Bezug
Eigenwerte/Matr. potenzieren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:21 Di 25.01.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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