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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte Minimalpolynom
Eigenwerte Minimalpolynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwerte Minimalpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:33 Di 08.05.2018
Autor: Max34

Aufgabe
Hallo,
ich bins gleich nochmal: Ich habe folgende Aufgabenstellung:
Man zeige für f [mm] \n End_K(V [/mm] ), mit V ein endlich dimensionaler Vektorraum
über einen algebraisch abgeschlossenen Körper: alle Linearfaktoren des charakteristischen Polynoms [mm] p_f [/mm] kommen im Minimalpolynom [mm] p_f [/mm] mit Vielfachheit  [mm] \geq [/mm]  1 vor.

Meine Überlegungen:
Da K algebraisch abgeschlossen ist zerfällt [mm] p_f [/mm] in Linaerfaktoren
also [mm] p_f =(x-a_1)^{p_1}....(x-a_n)^{p_n} [/mm] mit Nullstellen [mm] a_i \in [/mm] K und [mm] p_i \in \mathbb [/mm] N
Dann sei [mm] \lambda [/mm] Eigenwert zu Eigenvektor v [mm] \ne [/mm] 0 .
Es gilt f(v)= [mm] \lambda [/mm] v
Dann gibt es noch die Möglichkeit den EV v als Basiselement der Basis von EV, die V aufspannen, zu sehen.
Da [mm] p_f [/mm] in Linearfaktoren zerfällt, gibt es n EW, wobei dann die zugehörige Abbildungsmatrix [mm] A_f [/mm] Diagonalgestalt mit den EW auf der Diagonalen.
Komme ich damit weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Eigenwerte Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:41 Di 08.05.2018
Autor: hippias

Nein, dieser Ansatz führt nicht zum Erfolg, weil $f$ keineswegs diagonalisierbar sein muss.

Je nach dem, was Dein Vorwissen über das Minimalpolynom ist, gibt es viele Möglichkeite einen Beweis zu führen. Ich schlage jedenfalls einen Widerspruchsbeweis vor, indem Du dann die Teilerfremdheit von [mm] $x-a_{i}$ [/mm] und dem Minimalpolynom ausnutzt (Euklidischer Algorithmus).

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte Minimalpolynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:17 Sa 12.05.2018
Autor: Max34

Danke. Ich habe es hinbekommen:)

Bezug
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