Eigenwerte Von A^-1 < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper und A ist eine invertierbare Matrix. Seien e1,e2....en die paarweise verschiedenen Eigenwerte von A. Zeigen Sie dass die Matrix
Inverse A^-1 genau die Eigenwerte e1^-1, e2^-1, ... en^-1 besitzt. |
Hallo zusammen,
kann mir bitte jemand sagen, wie ich an diesen Beweis rangehen muss. Ich hätte schon versucht die Eigenwerte einer beliebigen Matrix zu finden (durch Rechnung) und dann die Eigenwerte der Inversen, aber das ist leider schief gegangen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei K ein Körper und A ist eine invertierbare Matrix. Seien
> e1,e2....en die paarweise verschiedenen Eigenwerte von A.
> Zeigen Sie dass die Matrix
> Inverse A^-1 genau die Eigenwerte e1^-1, e2^-1, ... en^-1
> besitzt.
> Hallo zusammen,
>
> kann mir bitte jemand sagen, wie ich an diesen Beweis
> rangehen muss. Ich hätte schon versucht die Eigenwerte
> einer beliebigen Matrix zu finden (durch Rechnung) und dann
> die Eigenwerte der Inversen, aber das ist leider schief
> gegangen.
Hallo,
nimm an, Du hättest eine invertierbare Matrix A mit dem Eigenwert [mm] \lambda.
[/mm]
Dann gibt es eine Eigenvektor v mit [mm] Av=\lambda [/mm] v.
Nun wende hierauf [mm] A^{-1} [/mm] an, und stell dann so um, daß Du siehst, daß [mm] \lambda^{-1} [/mm] auch ein Eigenwert ist.
Etwas nachdenken mußt Du darüber, ob der Eigenwert 0 vorkommen kann bei der Matrix A.
Gruß v. Angela
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Danke für den Hinweis. Hab das jetzt mal gemacht (hätt auch nicht gedacht, dass das so einfach ist)
Av = α * v
Multipliziere jede Seite mit A^-1
A*A^-1 * v = α * v * A^-1
Vereinfache:
v = α *v * A^-1
Dividiere durch α für den Fall α ungleich 0
v/α = A^-1 *v
v * α^-1 = A^-1 * v
Somit ist α^-1 ein Eigenwert von A^-1.
Das müsste so passen. Oder
Zum Fall α = 0
Wenn das so ist, dann gäbe es einen Vektor v ungleich 0 sodass gilt Av=0 Hieraus glaub ich ergitb sich ein Widerspruch. Begründen kann ich das aber nicht so genau. Wenn das gilt dann ist doch die Matrix gar nicht invertierbar oder??? Was mir auch auffällt ist, dass die Abbildung, die die Matrix beschreibt nicht injektiv ist, da der Kern nicht {0} ist. Aber wie kann ich das dann genau begründen auf meinen Fall bezogen??
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> Danke für den Hinweis. Hab das jetzt mal gemacht (hätt auch
> nicht gedacht, dass das so einfach ist)
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> Av = α * v
> Multipliziere jede Seite mit [mm] A^{-1}
[/mm]
> A*A^-1 * v = α * v * [mm] A^{-1}
[/mm]
Hallo,
ein (lösbares) Problem gibt es hier.
Du kannst [mm] A^{-1} [/mm] nicht einfach irgendwie in die Mitte multiplizieren.
v*Matrix geht nicht in der Regel, denn Du multiplizierst ja Zeile * Spalte.
(Beispiel: [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }*\pmat{5 \\ 5} [/mm] geht, [mm] \pmat{5 \\ 5}* \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] geht nicht.)
Du kannst dieses "Problem aber lösen, idem Du die matrix auf beiden Seiten links heranmultiplizierst, als0
[mm] A^{-1}*(Av) [/mm] = [mm] A^{-1}*(α [/mm] * v).
Und nun weiter wie gehabt.
Du mußt dann auch noch die Rückrichtung zeigen:
wenn [mm] a^{-1} [/mm] ein Eigenwert v. [mm] A^{-1} [/mm] ist, ist a ein Eigenwert von A.
> Zum Fall α = 0
>
> Wenn das so ist, dann gäbe es einen Vektor v ungleich 0
> sodass gilt Av=0 Hieraus glaub ich ergitb sich ein
> Widerspruch.
> Begründen kann ich das aber nicht so genau.
> Wenn das gilt dann ist doch die Matrix gar nicht
> invertierbar oder??? Was mir auch auffällt ist, dass die
> Abbildung, die die Matrix beschreibt nicht injektiv ist, da
> der Kern nicht {0} ist. Aber wie kann ich das dann genau
> begründen auf meinen Fall bezogen??
Du hast alles Notwendige gesagt:
> Wenn das so ist, dann gäbe es einen Vektor v ungleich 0
> sodass gilt Av=0
Also ist
> der Kern nicht {0}
somit ist
> die
> Abbildung, die die Matrix beschreibt nicht injektiv,
also
> ist doch die Matrix gar nicht
> invertierbar.
Gruß v. Angela
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