Eigenwerte abhängig von a < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Phil92 |
Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Ich soll zeigen, dass die Matrix A stets reelle Eigenwerte besitzt (in Abhängigkeit von dem Parameter a).
Die Matrix sieht folgendermaßen aus:
A = [mm] \pmat{ a & 1\\ 1 & 1 }
[/mm]
Als Eigenwert habe ich nun ausgerechnet:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{5-2a+a^{2}}+1+a}{2}
[/mm]
Um nun zu zeigen, dass [mm] \lambda [/mm] stets positiv ist, habe ich mir gedacht, dass man nur zeigen müsste, dass die Wurzel IMMER größer/gleich Null ist, sodass dort keine komplexen Zahlen heraus kommen könnten. Leider bekomme ich mit Hilfe der Fallunterscheidung immer folgendes heraus:
Zu zeigen: [mm] \wurzel{5-2a+a^{2}} \ge [/mm] 0
Fall (1): a < 0
Fall (2): a [mm] \ge [/mm] 0
Bei (1) bekomme ich raus: a [mm] \ge \wurzel{-4}-1
[/mm]
Bei (2) bekomme ich raus: a [mm] \ge \wurzel{-4}+1
[/mm]
Jetzt wäre das a ja komplex und somit auch [mm] \lambda [/mm] (was ich ja eigentlich widerlegen sollte). Habe mich wahrscheinlich irgendwo verrechnet oder mein Ansatz ist falsch, aber i8ch komme seit geraumer Zeit nicht auf die Lösung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Phil92 |
Sorry, habe mich ein Mal vertippt. Zu zeigen ist NUR, dass [mm] \lambda [/mm] stets REELL ist (ob positiv oder negativ ist egal, hauptsache reell)
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Hallo Phil92,
> Hallo,
>
> ich habe folgendes Problem:
>
> Ich soll zeigen, dass die Matrix A stets reelle Eigenwerte
> besitzt (in Abhängigkeit von dem Parameter a).
>
> Die Matrix sieht folgendermaßen aus:
>
> A = [mm]\pmat{ a & 1\\
1 & 1 }[/mm]
>
> Als Eigenwert habe ich nun ausgerechnet:
>
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{5-2a+a^{2}}+1+a}{2}[/mm]
Das muss doch [mm]\lambda=\frac{\red{\pm}\sqrt{5-2a+a^2}+1+a}{2}[/mm] lauten!
>
> Um nun zu zeigen, dass [mm]\lambda[/mm] stets positiv ist,
Wieso soll das denn positiv sein?
In der Aufgabe steht nur was von "reell" ...
> habe ich
> mir gedacht, dass man nur zeigen müsste, dass die Wurzel
> IMMER größer/gleich Null ist, sodass dort keine komplexen
> Zahlen heraus kommen könnten. Leider bekomme ich mit Hilfe
> der Fallunterscheidung immer folgendes heraus:
>
> Zu zeigen: [mm]\wurzel{5-2a+a^{2}} \ge[/mm] 0
>
> Fall (1): a < 0
> Fall (2): a [mm]\ge[/mm] 0
>
> Bei (1) bekomme ich raus: a [mm]\ge \wurzel{-4}-1[/mm]
> Bei (2)
> bekomme ich raus: a [mm]\ge \wurzel{-4}+1[/mm]
>
> Jetzt wäre das a ja komplex und somit auch [mm]\lambda[/mm] (was
> ich ja eigentlich widerlegen sollte). Habe mich
> wahrscheinlich irgendwo verrechnet oder mein Ansatz ist
> falsch, aber i8ch komme seit geraumer Zeit nicht auf die
> Lösung.
Du benötigst keine Fallunterscheidung.
Es ist [mm]\sqrt{5-2a+a^2}=\sqrt{\underbrace{(a-1)^2+4}_{>0}} \ \in\IR[/mm]
Und damit [mm]\lambda\in\IR[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Phil92 |
Danke für deinen Hinweis. Habe mir die Wurzel nicht genau genug angeschaut. Klar, es muss [mm] \pm [/mm] sein UND man kann den Audruck unter der Wurzel noch weiter vereinfachen.
Danke
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